Analisis Survival Dan Mean Residual Life Penduduk
Oleh: Novaliyosi,
Nurul Anriani Program
Studi Pendidikan Matematika FKIP
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
ABSTRAK
Pada kenyataannya umur seseorang hanya Allahlah yang tahu, tidak ada seorang pun yang tahu
kapan kematian itu akan datang dan sampai berapa lama suatu individu dapat bertahan hidup hingga
mencapai umur t. Dalam pembahasan penelitian tentang peluang mati dan survival serta taksiran harapan
hidup life expectancy seorang penduduk ini digunakan teori peluang dan model survival.
Hasil dari analisis ini memberikan nilai taksiran harapan hidup life expectancy seseorang
penduduk adalah
y
Y E
μ
=
= 55,097 tahun. Variansi
= 20,979 atau simpangan baku
sebesar 4,58028.
2 y
Y Var
σ =
=
y
σ
Peluang kematian dan laju kematian, didapat bahwa semakin tua umur seseorang maka peluang
kematian dan laju kematiannya semakin besar. Sedangkan peluang tetap hidup survive adalah
kebalikannya. Selain itu pula hasil dari analisis ini didapatkan taksiran mean residual life yaitu harapan
hidup yang tersisa pada umur tertentu seorang penduduk dan taksiran median life kematian penduduk
didapat = 51,491 tahun
5 ,
T
Kata
kunci: survive, life expectancy, mean residual life, median life
1. PENDAHULUAN
Pertumbuhan penduduk di suatu daerah atau kota dari tahun ke tahun
akan mengalami perkembangan. Perkembangan jumlah penduduk ini secara
terus menerus akan dipengaruhi oleh berbagai faktor, diantaranya faktor
kelahiran, kematian dan perpindahan penduduk yaitu imigran pendatang
akan menambah dan emigran akan mengurangi jumlah penduduk di suatu
daerah atau kota.
kematian sebagai salah satu penyebab perubahan penduduk menjadi
dasar bagi penulis untuk melakukan penelitian dalam menentukan peluang
harapan hidup penduduk di suatu daerah atau kota. Keadaan ekonomi dan
lingkungan di suatu daerah atau kota dapat mempengaruhi tingkat kematian
penduduk dan tingkat harapan hidup seseorang karena menurut teori demografi
semakin tinggi atau besarnya angka harapan hidup life expectancy penduduk
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
maka semakin baik, hal ini menjadi sebuah indikator semakin meningkatnya
kesejahteraan penduduk di suatu kota atau daerah.
Pada kenyataannya umur seseorang hanya Allahlah yang tahu, tidak ada seorang
pun yang tahu kapan kematian itu akan datang dan sampai berapa lama
seseorang dapat bertahan hidup hingga mencapai umur , maka dalam penelitian
ini digunakan teori peluang dan model survival. t
2. METODE PENELITIAN
2.1 Plotting Data Sampel
Dalam hal ini plotting data sampel dilakukan dengan cara membuat
grafik histogram dari data umur kematian.
2.2 Penentuan Hipotesis
Kemungkinan distribusi umur kematian penduduk suatu kota
mengikuti bentuk distribusi lognormal atau Weibull.
A. Hipotesis Berdistribusi Lognormal
Penentuan dan :
H o
1 H
: Data umur kematian penduduk berdistribusi lognormal
H o
: Data umur kematian penduduk tidak berdistribusi lognormal
1 H
B. Hipotesis Berdistribusi Weibull
Penentuan dan :
H o
1 H
o : Data umur kematian penduduk berdistribusi Weibull
H o
o : Data umur kematian penduduk tidak berdistribusi Weibull
1 H
Kriteria pengujian adalah :
Tolak
, jika
H o
AD
yang dihitung lebih besar dari nilai
CV AD
CV
Terima
, jika
H o
AD
yang dihitung lebih kecil dari nilai
CV AD
CV
2.3 Penaksiran Parameter
Penelitian ini dilakukan penaksiran parameter dari distribusi kematian
penduduk. Penaksiran parameter ini menggunakan penaksiran kemungkinan
maksimum maksimum likelihood estimator.
A. Penaksiran Parameter Distribusi Lognormal
Seandainya distribusi kematian adalah berdistribusi lognormal dengan
merupakan peubah acak hasil transformasi umur seorang penduduk
yang mati dan berdistribusi lognormal di mana :
n
Y Y
Y Y
,..., ,
,
3 2
1
, 2
1 ,
; ln
2
ln 2
1
=
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
y e
y y
n
y y
y y
y y
σ μ
π σ
σ μ
2.1
B. Penaksiran Parameter Distribusi Weibull
Jika merupakan peubah acak hasil transformasi umur
seorang penduduk yang mati dan berdistribusi Weibull dengan dua parameter
n
Y Y
Y Y
,..., ,
,
3 2
1
y
α dan
y
β , maka fungsi likelihoodnya adalah :
y y
i
y y
i n
y y
y y
y
e y
L
β
α β
α α
β β
α
1 1
,
− =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∏
2.2
2.4 Uji Anderson‐Darling
Untuk mencari kecocokan goodness‐of‐fit terhadap data umur kematian
penduduk maka digunakan uji kecocokan Anderson‐Darling di mana dapat
digunakan pada setiap distribusi Annis, 2004.
Untuk distribusi lognormal pengujian statistik AD didapat dari :
{
n z
F z
F n
i AD
i n
i n
i
− −
+ −
=
− +
=
∑
] 1
ln[ ]
ln[ 2
1
1 1
}
2.3
Sedangkan untuk distribusi Weibull, pengujian statistik AD didapat dari :
{
n z
F z
F n
i AD
i n
i n
i
− −
+ −
=
− +
=
∑
] 1
ln[ ]
ln[ 2
1
1 1
}
2.4
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data penduduk yang digunakan dalam penelitian ini adalah populasi
kematian penduduk di kota Bandung pada tahun 2001‐2003 yang diperoleh
dari Sub Dinas Pemakaman Kota Bandung. Di mana sampel data umur
kematian diambil dari Tempat Pemakaman Umum TPU Sinaraga dan Pandu
Kota Bandung.
3.1 Sampling Proporsi
Banyaknya data yang ada yaitu
4520 =
N ,
maka agar lebih mudah meramalkan
bentuk distribusi dilakukan teknik sampling proporsi, dengan .
05 ,
5 =
= p
3.2 Taksiran Distribusi Kematian
Tujuan dari taksiran distribusi kematian ini adalah menggambarkan
bentuk fungsi distribusi kematian dari data umur penduduk kota Bandung
yang mati.
3.2.1 Plotting Data Sampel
Plotting data sampel dilakukan dengan cara pembuatan histogram dari
data umur penduduk yang mati dengan banyaknya data
, di mana
umur penduduk yang mati tertua maksimum = 115 dan termuda minimum =
0. 367
= n
Jika dilihat dari bentuk histogramnya maka bentuk histogram sebaran
sampel data umur kematian miring kekanan, hal ini disebabkan karena banyak
penduduk yang mati pada usia tua. Sehingga dengan melihat histogramnya
maka agar lebih memudahkan dalam menentuan bentuk distribusi dilakukan
transformasi data.
3.2.2 Transformasi Data
Transformasi data umur kematian didapat :
i
Y = 115 –
i
T Kemudian
setelah didapat umur kematian penduduk yang telah ditransformasikan,
selanjutnya umur kembali dilakukan plotting data sampel hasil
transformasi.
i
Y
3.2.3 Penaksiran Parameter
Penaksiran parameter dari data sampling yaitu
367 =
n ,
dengan tujuan untuk
mendapatkan besarnya nilai parameter tergantung dari jenis distribusinya.
A. Penaksiran Paremeter Distribusi Lognormal
Karena diduga distribusinya adalah distribusi lognormal, didapat
parameter
y
μ = 3,94141 dan
y
σ = 0,36794.
Maka fungsi padat peluang distribusi lognormal, menjadi :
2 2
36794 ,
2 94141
, 3
ln
2 36794
, 1
− −
=
y
e y
y f
π
B. Penaksiran Paremeter Distribusi Weibull
Sedangkan untuk asumsi yang kedua diduga distribusinya adalah
distribusi Weibull, didapat
y
α = 61,861 dan
y
β = 2,8222.
Maka fungsi padat peluang distribusi Weibull, menjadi :
8222 ,
2
861 ,
61 1
8222 ,
2
861 ,
61 861
, 61
8222 ,
2
y
e y
y f
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= 3.2.4
Uji Anderson Darling
Untuk menguji kecocokan distribusi yang diduga yaitu berdistribusi
lognormal atau berdistribusi Weibull, maka pengujian dilakukan dengan
menggunakan uji Anderson Darling.
A. Uji Anderson Darling Distribusi Lognormal
Nilai
= AD
0,3676, critical value atau
= CV
0,752, karena maka
berdasarkan penentuan hipotesis
diterima, artinya umur kematian berdistribusi
lognormal. CV
AD
o
H
B. Uji Anderson Darling Distribusi Weibull
Nilai
= AD
4,8705, critical value atau
= CV
0,757, karena maka
hipotesis ditolak dan
diterima, artinya umur kematian tidak berdistribusi
Weibull. CV
AD
o
H
1
H
Setelah dilakukan pengujian hipotesis dengan uji kecocokan Anderson
Darling ternyata hipotesis yang diterima adalah umur kematian mengikuti
distribusi lognormal, sedangkan asumsi berdistribusi Weibull ditolak. Oleh
karena itu untuk pembahasan pada penelitiaan ini hanya menggunakan fungsi
padat peluang distribusi lognormal.
3.3 Taksiran Peluang Kematian
Peluang kematian pada umur 5 tahun adalah 0,0000000001. Artinya
peluang kematian seorang penduduk pada saat 5 tahun sangatlah kecil
sedangkan peluang kematian umur 115 tahun adalah 0,9855130003. Artinya
peluang kematian seorang penduduk pada saat umur 115 tahun adalah 98,55
. Semakin besar umur atau semakin tua umur seseorang maka peluang
kematiannya semakin besar.
3.4 Taksiran Peluang Tetap Hidup Survive
Peluang tetap hidup survive seseorang pada umur 5 tahun adalah
0,9999999999. Artinya peluang tetap hidup seorang penduduk pada saat umur
5 tahun adalah 99,99 , sedangkan peluang tetap hidup seseorang pada umur
115 tahun adalah 0,0144869997. Artinya peluang tetap hidup seorang penduduk
pada saat umur 115 tahun adalah 1,487 . Semakin besar umur atau semakin
tua umur seseorang maka peluang tetap hidup survive semakin kecil.
3.5 Taksiran Laju Kematian Percepatan Mortalitas
Percepatan mortalita penduduk pada umur 5 tahun adalah 0, sedangkan
percepatan mortalita penduduk pada umur 115 tahun adalah 0,059958.
Semakin tua umur seseorang maka percepatan mortalitanya cenderung akan
semakin besar.
Jika digambarkan dalam bentuk grafik fungsi hazard akan terlihat seperti
pada Gambar 2, di mana sifat fungsi hazard untuk distribusi lognormal akan
terus naik hingga mencapai maksimum kemudian akan menurun hingga 0
pada .
Percepatan mortalita kumulatif penduduk pada umur 5 tahun adalah
0,00 sedangkan percepatan mortalita kumulatif penduduk pada umur 115
tahun adalah 4,234504. Semakin tua umur seseorang maka percepatan mortalita
kumulatif cenderung akan semakin besar. ∞
= t
Gambar 1. Grafik Fungsi Survival
Gambar 2. Grafik Fungsi Hazard
Percepatan Mortalita
3.6 Taksiran Harapan Hidup dan Variansi
harapan hidup life expectancy seseorang penduduk hasil transformasi
dengan distribusi lognormal adalah
y
Y E
μ
=
= 55,097. Artinya diharapkan seseorang
yang lahir dapat tetap hidup rata‐rata hingga mencapai umur 55,097
tahun. Sedangkan Variansi
= 20,979 atau simpangan baku sebesar
2 y
Y Var
σ =
=
y
σ 4,58028.
3.7 Taksiran Mean Residual Life
Harapan hidup yang tersisa seseorang penduduk pada umur
y
. Dengan
dengan batas atas
115 =
ω .
Didapat pada saat umur 1 tahun mean residul life adalah
53,85 Artinya rata‐rata umur sisa hidup seseorang pada umur 1 tahun adalah
53,85 tahun. Sedangkan untuk umur 115 tahun hasil mean residual life adalah
0,00. Artinya rata‐rata jarang tidak ada seseorang untuk dapat hidup mencapai
umur 115 tahun.
3.8 Taksiran Median Life
Taksiran median life adalah nilai tengah umur penduduk yang
mengalami kematian. Maka didapat dari data umur kematian penduduk
dengan berdistribusi lognormal, bahwa median life adalah persentil ke‐50 dari
data umur kematian akan didapat
= 51,491 tahun. Maka didapat pada saat umur
nilai Artinya
hal ini berarti bahwa sebagian
besar penduduk banyak mengalami kematian pada umur di atas median
life, yaitu lebih banyak penduduk yang mengalami kematian di atas umur
51,491 tahun.
5 ,
T
5 ,
Y 50013
, =
y S
5 ,
5 ,
≥ y
S
4. KESIMPULAN
Berdasarkan dari hasil penelitian ini maka kesimpulan yang dapat
diambil adalah sebagai berikut :
1. Data umur kematian penduduk kota Bandung mengikuti distribusi
lognormal kesimpulan ini didapat dengan cara melakukan teknik sampling
random proporsi dan teknik transformasi data.
2. Peluang kematian pada seseorang pada umur 5 tahun adalah 0,0000000001.
Artinya peluang kematian sangatlah kecil sedangkan peluang kematian
seseorang penduduk pada umur 115 tahun adalah 0,9855130003 atau
98,551. Bahwa semakin besar umur atau semakin tua umur seseorang
maka peluang kematiannya semakin besar.
3. Peluang tetap hidup survive seseorang pada umur 5 tahun adalah
0,9999999999 atau 99,99, sedangkan peluang tetap hidup seseorang pada
umur 115 tahun adalah 0,0144869997 atau 1,4487. Bahwa semakin besar
umur atau semakin tua umur seseorang maka peluang tetap hidup survive
semakin kecil.
4. Percepatan mortalita penduduk pada umur 5 tahun adalah 0 sedangkan
percepatan mortalita penduduk pada umur 115 tahun adalah 0,059958.
Bahwa semakin tua umur seseorang maka percepatan mortalitanya
cenderung akan semakin besar.
5. Pada umur 1 tahun mean residual life atau rata‐rata sisa umur hidup
seseorang adalah 53,85 tahun. Sedangkan umur 115 tahun hasil mean
residual life adalah 0 tahun.
6. Harapan hidup life expectancy seorang penduduk kota Bandung
y
Y E
μ
=
= 55,097 tahun. Sedangkan Variansi =
20,979 atau simpangan
baku sebesar
2 y
Y Var
σ =
=
y
σ 4,58028.
7. Median life kematian penduduk adalah
= 51,491 tahun. Sebagian besar penduduk
banyak mengalami kematian di atas umur 51,491 tahun
5 ,
T
DAFTAR PUSTAKA
Ali, dkk. 1995. Kamus Besar Bahasa Indonesia edisi kedua. Jakarta : Balai Pustaka.
http:www.statisticalengineering.comgoodness.htm .
Annis, C. 2004. Goodness
‐of‐Fit Tests for Statistical Distributions. D
ʹAgostino dan Stephens. 1986. Goodness‐of‐Fit Techniques. New York : Marcel‐ Dekker.
Freud, J E dan Walpole, R E. 1987. Mathematical Statistic, Fourth Edition.
Englewood Cliffs, New Jersey : Prentice Hall, Inc.
Hogg, R V dan Craig, A T. 1978. Introduction to Mathematical Statistic, Fifth
Edition .
Englewood Cliffs, New Jersey : Prentice Hall, Inc. Klein,
J P dan Moeschberger, M L. 1997. Survival Analysis. Techniques for Censored
and Truncated Data. New York : Springer‐Verlag, Inc. Lucas,
D. 1990. Pengantar Kependudukan : Pengertian‐pengertian Dasar Demografi
. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press.
Mathews, J H. 1992. Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering
2
nd
edition. New Jersey : Prentice Hall, Inc. Sevilla,
dkk. 1993. Pengantar Metode Penelitian “An Introduction to Research Methods”.
Terj. Alimuddin Tuwu. Jakarta : Universitas Indonesia, Press. Sudjana.
1992. Metoda Statistika edisi ke‐5. Bandung : Penerbit Tarsito. Sukono.
2000. Diktat mata kuliah Survival Model. Bandung : Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Padjadjaran. Utomo,
B. 1981. Dasar‐dasar Demografi : Mortalitas. Jakarta : Lembaga Demografi
Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Walpole,
R E. dan Myers, R H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan edisi ke‐4. Bandung : Penerbit ITB.
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
Simulasi Monte Carlo Dengan Menggunakan Splus
Untuk Membangun Interval Konfidensi Mean Distribusi Log Normal
Oleh: Andi
Permana Putera
1
, Rohmatul Fajriyah
2
, Epha Diana Supandi
3 1,2,3
Jurusan Statistika FMIPA UII, Jogjakarta Korespondensi:
rfajriyahfmipa.uii.ac.idrfajriyahyahoo.com
Abstrak
Interval kepercayaan adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter. Terdapat beberapa metode
untuk mencari interval kepercayaan mean pada distribusi log normal, diantaranya metode Naive, metode
Cox, metode Cox modifikasi, metode berdasarkan sampel besar, dan metode interval kepercayaan
tergeneralisasi. Berdasarkan data sampel tentang X berdistribusi log normal dimana Y = logX adalah
berdistribusi normal, melalui simulasi disimpulkan bahwa metode Cox modifikasi dan metode interval
kepercayaan tergeneralisasi, dapat dikatakan lebih baik dibandingkan yang lainnya. Hal ini terlihat dari
coveringnya yang selalu lebih besar prosentasenya, dibanding metode lainnya.
Kata
Kunci : Distribusi Log – Normal, Metode Naive, Metode Cox, Metode Cox modifikasi, Metode
berdasarkan sampel besar, Metode interval kepercayaan tergeneralisasi.
1. Pendahuluan
