dihasilkan
secara harfiah dinamakan waktu survival Collet,1994. Penerapan
dari analisis ini biasanya banyak dilakukan dibidang kedokteran yaitu
berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup penderita penyakit tertentu
Lee,1992
, dan dibidang produksi berkaitan dengan pemodelan tentang
ketahanan
hidup benda‐benda produksi Barlow dan Proschan,1996. Dalam
analisis survival terdapat dua fungsi yang menjadi pusat perhatian yaitu fungsi
survival
dan fungsi hazard Collet,1994.
Karakteristik analisis survival yang mengakomodasikan adanya
sensoring membuat estimasi parameter pemodelan data survival dengan fungsi
likelihood
semakin komplek Fox,2002. Metode Maximum Likelihood Estimator
MLE tidak dapat digunakan secara langsung karena adanya sensoring
Collet,1994
dan model regresi Cox merupakan model semiparametrik, dimana
hazard dasarnya merupakan fungsi nonparametrik tanpa spesifikasi distribusi
tertentu Zhong, 2000. Metode Partial Likelihood merupakan metode
MLE
konditional yang mengakomodasi adanya sensoring Collet,1994 dan
akan mengeliminasi fungsi nonparametrik hazard dasar serta mengkonversi
masalah
semiparametrik menjadi masalah parametrik Zhong,2000.
II. METODE STATISTIKA
2.1. Model Regresi Cox
Model regresi Cox merupakan model hazard proporsional dasar yaitu
rasio hazardnya sama sepanjang waktu atau rasio hazardnya independen
dengan waktu. Model ini dikemukan oleh D.R Cox 1972 sebagai berikut,
untuk pengamatan ke‐i dari n individu :
... exp
2 2
1 1
pi p
i i
i
x x
x t
h t
h β
β β
+ +
+ =
exp
i i
t h
t h
x
′ =
1
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
860
dengan merupakan vektor
dari variabel bebas,
x
1 px
,..., ,
2 1
′ =
p
x x
x x
dan merupakan
vektor dari koefisien regresi sedangkan
merupakan fungsi
hazard untuk individu yang mana semua nilai variabel bebasnya membuat
vektor sama dengan nol,dinamakan hazard dasar baseline hazard
.
1 px
t h
x
2.2. Estimasi Parameter Dalam Model Regresi Cox
Karakteristik analisis survival yang mengakomodasikan adanya
sensoring membuat estimasi parameter pemodelan data survival dengan
fungsi likelihood semakin komplek. Metode Maximum Likelihood Estimator
MLE tidak dapat digunakan secara langsung karena adanya sensoring dan
model regresi Cox merupakan model semiparametrik, dimana hazard
dasarnya merupakan fungsi nonparametrik tanpa spesifikasi distribusi
tertentu, maka digunakan Metode Maximum Partial Likelihood Estimator
MPLE dengan langkah‐langkah sebagai berikut:
i. Menentukan fungsi Partial Likelihood
Menurut definisi
fungsi Partial Likelihood dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑
∈ j
j
j
t R
l l
i
t h
t h
2
dan jika kita menggunakan persamaan
1, fungsi hazard pada pembilang
dan penyebut dapat diganti menjadi:
∑
∈
′ ′
j
exp exp
j
t R
l l
x x
3
Matematika
861
kemudian dengan mengalikan persamaan tersebut sebanyak r waktu
kematian dinamakan fungsi Partial Likelihood seperti pada persamaan
berikut :
∏ ∑
= ∈
′ ′
=
r j
t R
l l
j
PL
1 j
exp exp
x x
β
4 Misalkan
terdapat data dengan n observasi waktu survival, dinotasikan oleh
,
dan
,.., ,
2 1
n
t t
t
i
δ
merupakan indikasi sensoring yang mana bernilai nol jika
waktu survival ke‐i
n i
t
i
,..., 2
, 1
, =
merupakan tersensor tipe I, dan bernilai
satu untuk lainnya. Fungsi partial likelihood pada persamaan 4 dapat ditulis
sebagai berikut :
i i
n i
t R
l l
i
PL
δ
β
∏ ∑
= ∈
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
′ ′
=
1
exp exp
x x
5
ii. Menentukan Fungsi Log‐Partial Likelihood
Untuk
memperoleh nilai estimator parameter dengan MPLE terlebih
dahulu harus menentukan persamaan log‐Partial Likelihoodnya, log PL. Dari
persamaan Partial Likelihood 5 maka persamaan log‐Partial Likelihoodnya
adalah sebagai berikut :
6
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
′ −
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ′
− ′
=
∑ ∑
∑ ∑
∑
∈ =
= ∈
= 1
1 1
exp log
exp log
PL log
i i
t R
l l
p k
ki k
n i
i t
R l
l i
n i
i
x x
x x
β δ
δ
iii. Menentukan Turunan Pertama Fungsi Log‐Partial Likelihood
Terhadap Parameter
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
862
Dalam MPLE, setelah diperoleh persamaan log‐Partial Likelihood,
langkah berikutnya adalah perlu menurunkan persamaan 6
terhadap parameternya
kemudian menyamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk
memaksimumkan fungsi log‐Partial Likelihoodnya. Misalkan
merupakan parameter yang berupa matrik berukuran
1 ×
p
, maka
fungsi log‐Partial Likelihoodnya harus diturunkan terhadap semua elemen
matrik parameter . Misalkan terdapat parameter
k
β
,
maka turunan log PL terhadap
p k
,..., 2
, 1
=
k
β
adalah:
p. 1,2,...,
k dengan
, exp
exp PL
log
1
= ⎪
⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ′
′ −
= ∂
∂
∑ ∑
∑
∈ ∈
=
i i
t R
l l
t R
l l
kl ki
n i
i k
x x
x x
δ β
7
iv. Mendapatkan Estimator Parameter
Estimator MPLE untuk parameter
k
β
,
p k
,..., 2
, 1
=
diperoleh dengan cara menyamadengankan
nol pada persamaan 7, sebagai berikut :
p 1,2,...,
k dengan
, exp
exp
1
= =
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪
⎩ ⎪
⎨ ⎧
′ ′
−
∑ ∑
∑
∈ ∈
=
i i
t R
l l
t R
l l
kl ki
n i
i
x x
x x
δ
8 Persamaan
diatas tidak dapat diselesaikan secara analitis karena masih dalam
bentuk fungsi implisit. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menyelesaikannya,
dalam penulisan ini akan digunakan metode Newton‐ Raphson
untuk mendapatkan nilai estimasi parameter melalui Software S
‐Plus. Berdasarkan
metode Newton – Raphson, maka hal yang perlu dilakukan
adalah mendapatkan turunan kedua dari fungsi log‐Partial likelihood
u k
β β ∂
∂ ∂
PL log
2
. Untuk
p k
,..., 2
, 1
=
dan
p u
,..., 2
, 1
=
, maka :
Matematika
863
9 exp
exp exp
exp exp
PL log
2 1
⎪ ⎪
⎭ ⎪
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
′ ′
′ −
′ ′
− =
∂ ∂
∂
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∈ ∈
∈ ∈
∈ =
i i
i i
i
t R
l l
t R
l l
kl t
R l
l ul
t R
l l
t R
l l
ul kl
n i
i u
k
x x
x x
x x
x x
x δ
β β
dengan dan
p k
,..., 2
, 1
= p
u ,...,
2 ,
1 =
2.3. Estimasi Fungsi Hazard Dasar
