Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
88 11.
Jika fungsi g: R o R ditentukan oleh
gx x
2
x 1 dan f : R o R sehingga
f g x
D
3x
2
3x 7, maka fx . . . . A.
3x 4
D. 3x 4
B. 3x
4 E.
3x 6
C. 3x 4
12. Diketahui
2 3
1 ,
4 1
4 x
f x x
x z
. Jika f
1
adalah invers fungsi f, maka f
1
x 2 . . . .
A. 4
5 ,
4 5
4 x
x x
z B.
4 5
, 4
5 4
x x
x z
C. 2
3 ,
4 3
4 x
x x
z D.
3 ,
4 3
4 x
x x
z E.
5 ,
4 5
4 x
x x
z
13. Diketahui
2 3
, 4
4 x
f x x
x z
, dan gx 2x,
maka
1
g f x
D
. . . . A.
2 1
, 3
1 3
x x
x z
D. 4
10 ,
3 3
x x
x z
B. 2
5 2
, 3
2 3
x x
x z
E. 4
10 ,
3 3
x x
x z
C. 4
6 ,
4 4
x x
x z
14. Diketahui: f : x
2 3
, 4
x x
x o
z 4
g f x D
x
2
7x 8 Nilai dari
5 8
g
. . . . A.
8 D. 0
B. 6
E. 4
C. 4
15. Fungsi invers dari
1 5
3
1 2
f x x
adalah f
1
x . . . .
A.
1 3
5
1 2
x
D.
5 3
1 2
x B.
1 3
5
1 2
x
E.
5 3
2 x
C.
5 3
1 2
x
16. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan
fx 3
4 2
5 x
x untuk
5 2
x z
dan f
1
x adalah invers dari fx. Rumus fungsi f
1
x . . . .
A. 1
1 ,
2 1
2 x
x x
z D.
5 4
1 ,
2 2
1 x
x x
z B.
1 1
, 2
1 2
x x
x z
E. 5
4 1
, 2
2 1
x x
x z
C. 1
1 ,
2 2
1 x
x x
z
17. Jika
f g x
D
4x
2
8x 3 dan gx 2x 4, maka f
1
x . . . .
A. x
9 D.
2 1
x
B. 2
x E.
2 7
x
C. x
2
4x 3
18. Jika
f g x
D
x
2
4x dan gx x 1, maka f
1
x . . . .
A. 2
x
D. 3
2 x
B. 3
4 x
E. 4
3x
C. x
2
6x 5
19. Fungsi f : R
o R dan g : R o R dirumuskan dengan fx
2x 1 dan gx 3x 5, maka
1
g f a
D
2. Nilai a adalah . . . . A.
10 D. 6
B. 6
E. 10
C. 2
20. Jika
1 dan 2
1 f x
x f
g x x
D
, maka fungsi g adalah gx
. . . . A.
2x 1
D. 4x 3
B. 2x
3 E.
5x 4
C. 4x
5
21. Diberikan fungsi f dan g dengan fx
2x 1 dan
, 1
1 x
f g x
x x
z D
, maka invers dari fungsi adalah g
1
x . . . .
A. ,
1 1
x x
x z
B.
2 1
, 2
x x
x z
C.
1 ,
x x
x z
D. 2
1 ,
2 2
1 x
x x
z E.
2 1
, 2
x x
x z
Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
89
Inter section
Untuk lebih memahami bab ini, kamu harus memahami materi persamaan dan fungsi kuadrat, sistem persamaan linear, dan suku banyak.
1. Jika fx
2 x, gx x
2
1, dan hx 3x, maka
3 h g f
D D
. . . . A.
80 D. 80
B. 6
E. 81
C. 6
UMPTN 2001
2.
Jika
2
4 8
3 f g x
x x
D
dan gx 2x 4,
maka f
1
x . . . .
S
oal-soal UMPTN dan SPMB
22. fx
x 2 untuk x 0 gx
15 x
untuk x Dengan demikian
1 1
1 f
g x
D untuk x
sama dengan . . . . A.
1 D. 8
B. 3
E. 10
C. 5
A. x
9 D.
2 1
x
B. 2
x E.
2 7
x
C. x
2
4x 3
UMPTN 2001
3. Jika fx
3
x 1
, maka f
1
81 . . . .
A. 1
D. 4 B.
2 E.
5 C.
3
UMPTN 2001
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
90
A.
Pengertian Limit di Suatu Titik
Bab Bab
Bab Bab
Bab
13
Limit Fungsi Limit Fungsi
Limit Fungsi Limit Fungsi
Limit Fungsi
Misalkan fungsi fx didefinisikan di sekitar x
a, maka
lim
x a
f x L
o
jika dan hanya jika
lim lim
x a
x a
f x f x
L
o o
x
lim
x a
f x L
o
biasa disebut limit kiri x
lim
x a
f x L
o
biasa disebut limit kanan
Contoh
Nilai
2
2 6
l im 4
x
x x
x
o
dengan x z 0
adalah . . . . A.
3 D.
3 2
B. 3
2 E.
3 C.
Jawab:
2
2 6
2 3
l im l im
4 4
3 l im
2 3
2 3
2
x x
x
x x
x x x
x x
o o
o
Kunci: B 1.
Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk
o
lim
x a
f x g x
Jika dengan cara substitusi langsung diperoleh
l im
x a
f x g x
o
maka perhitungan limit dilakukan dengan cara:
a. Pemfaktoran
2 1
1 1
4 5
5 1
l im l im
1 1
5 1
5 l im
6
x x
x
x x
x x
x x
x
o o
o
b. Substitusi langsung
Misalnya:
3
l im
x o
x 5 3 5 2
c. Mengalikan dengan akar sekawan
2 1
1 1
1 lim
1 1
1 1
1 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
o
u
d. Aturan L’Hospital
lim lim
x a
x a
f x f x
g x g x
o o
c c
3 2
2 2
2
1 3
3 lim
lim 2
3 2
2 1
x x
x x
x x
o o
B.
Limit Fungsi Aljabar
Bab 13 Limit Fungsi
91
I N
G A
T
2. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk
o
lim
x
f x g x
f
a. Membagi dengan pangkat tertinggi
x Jika pangkat tertinggi variabel x pada fx sama
dengan pangkat tertinggi variabel x pada gx, maka
koefisien variabel dari
lim koefisien variabel
dari
n n
x
x f x
f x g x
x g x
of
dengan n adalah pangkat tertinggi variabel x. x
Jika pangkat tertinggi variabel x pada fx lebih besar dari pangkat tertinggi variabel x pada
gx dan koefisien variabel x yang pangkatnya tertinggi pada fx bernilai positif, maka
lim
x
f x g x
of
f
x Jika pangkat tertinggi variabel x pada fx lebih
besar dari pangkat tertinggi variabel x pada gx dan koefisien variabel x yang pangkatnya
tertinggi pada fx bernilai negatif, maka
lim
x
f x g x
of
f
x Jika pangkat tertinggi variabel x pada fx lebih
kecil dari pangkat tertinggi variabel x pada gx, maka
2 2
lim 2
x
ax bx
c ax
dx e
b d
a
of
Contoh
Nilai dari
3 2
3
27 l im
3
x
x x
x
o
adalah . . . . A.
9 D. 3
B. 3
E. 9
C.
Jawab:
3 2
2 3
3 2
3 2
27 3
3 9
l im l im
3 3
3 9
l im 3
3 3 9 3
9 9
9 27
9 3
3
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
o o
o
Kunci: A
lim
x
f x g x
of
Contoh
3 2
2 3
8 2
1 l im
2 7
5 4
x
x x
x x
x x
of
adalah . . . . A.
2 D. 2
B. 1
2 E.
4 C.
1 2
Jawab:
Karena fx dan gx mempunyai pangkat tertinggi 3, maka fx dan gx masing-masing
dibagi x
3
.
3 2
2 3
2 3
3 3
2 3
3 3
8 2
1 l im
2 7
5 4
2 1
8 l im
2 7
5 4
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
of
of
8 0 0
4 8
2 4
Kunci: A
b. Mengalikan dengan faktor lawan
Bentuk
[ ]
l im
x
f x g x
of
dapat dicari dengan cara mengalikan
f x g x
f x g x
sehingga bentuk limit itu menjadi
2 2
[ ]
l im l im
x x
f x g x
f x
g x f x
g x f x
g x f x
g x
of of
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
92
Contoh
2 2
4 5
6 3
l im
x
x x
x x
of
adalah . . . . A.
f D.
5 B.
E. 10
C. 1
Jawab:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 5
6 3
l im lim
4 5
6 3
4 5
6 3
4 5
6 3
4 5
6 3
l im 4
5 6
3 10
8 l im
4 5
6 3
8 10
l im 4
5 6
3 1
1
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
of of
of of
of
ª º
u «
» ¬
¼
10 1
1 10
10 5
1 1
2
Kunci: D
Berikut ini adalah teorema limit yang sering digunakan untuk menentukan limit fungsi aljabar.
Misalkan n bilangan asli, k konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
x lim
x c
k k
o
T.1 x
lim
x c
c c
o
T.2 x
lim lim
x c
x c
kf x k
f x
o o
T.3 x
lim [ ]
lim lim
x c
x c
x c
f x g x
f x g x
o o
o
T.4 x
[ ]
l im l im
l im
x c
x c
x c
f x g x
f x g x
o o
o
T.5 x
[ ]
l im l im
l im
x c
x c
x c
f x g x
f x g x
o o
o
T.6
C.
Teorema Limit
x
l im l im
l im
x c
x c
x c
f x f x
g x g x
o o
o
dengan syarat T. 7 x
l im l im
n n
x c
x c
f x f x
o o
§ ·
¨ ¸
© ¹
T. 8 x
l im l im
n n
x c
x c
f x f x
o o
, dengan syarat
l im
x c
f x
o
t
untuk n genap T. 9
Contoh
Jika
3
l im
x o
f x 2 dan
3
l im
x o
gx 32, maka
nilai
3 5
3
l im
x
f x
g x
o
ª º
¬
¼ adalah . . . .
A. 64
D. 16 B.
56 E.
8 C.
36
Jawab:
3 5
3 3
5 3
3 3
5 3
3 3
5 3
3 3
5
l im T .6
l im l im
T .8 l im
l im T .9
l im l im
2 32
8 2
16
x
x x
x x
x x
f x
g x
f x
g x
f x g x
f x g x
o
o o
o o
o o
ª º
¬
¼
§ ·
¨
¸ ©
¹ §
·
¨ ¸
© ¹
Jadi,
3 5
3
16 l im
x
f x
g x
o
.
Kunci: D
x
sin 1
l im
o x
x x
x
1 l im
sin
o x
x x
x
sin 1
l im
o x
ax ax
x 1
l im sin
o x
ax ax
x
tan 1
l im
o x
x x
x 1
l im tan
o x
x x
D.
Limit Trigonometri
Bab 13 Limit Fungsi
93
x sin 2x
2 sin x cos x x
cos 2x cos
2
x sin
2
x 1 2 sin
2
x x
cos nx 1 - 2 sin
2
2 n x
x cos x
sin x cos 2
cos sin
x x
x x
1 cos x 2 sin
2
1 2
x x
1 cos 2x sin
2
x cos
2
x cos
2
x sin
2
x x
6 cos
2
x 32 cos
2
x 1 3 · cos 2x
I N
G A
T
x
tan 1
l im
o x
ax ax
x 1
l im tan
o x
ax ax
x
sin l im
o x
ax a
bx b
x l im
sin
o x
ax a
bx b
x
tan l im
o x
ax a
bx b
x l im
tan
o x
ax a
bx b
Contoh
Nilai dari
