Diketahui matriks Determinan Ringkasan Matematika SMA

Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA 122 I N G A T Jika matriks K, L, dan M dapat dioperasikan dengan n adalah konstanta, maka berlaku aturan berikut. 1. K L L K 2. K L M K L M 3. KL M KL KM 4. K LM KM LM 5. KL M KL KM 6. MK L MK LM 7. nK L nK nL 8. nK L nK nL 9. n pK nK pK 10. n pK nK pK 11. npK npK 12. nKL nKL KnL 13. KLM KLM Cara melakukan perkalian dua buah matriks adalah A m u p u B p u n C m u n Jadi, perkalian matriks dapat dilakukan bergantung pada ordo matriks tersebut. Misalnya: 3 2 5 1 , 1 4 6 2 A B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 3 2 5 1 1 4 6 2 3 5 2 6 3 1 2 2 1 5 4 6 1 1 4 2 15 12 3 4 27 7 5 24 1 8 29 9 A B § ·§ · u ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ u u u u § · ¨ ¸ u u u u © ¹ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ f. Matriks skalar Matriks skalar adalah matriks yang elemen- elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya sama dengan 0. Contoh x 3 0 0 3 K § · ¨ ¸ © ¹ x 5 0 0 0 5 0 0 0 5 L § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ g. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh h. Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. x 3 0 0 4 M § · ¨ ¸ © ¹ x 7 0 0 5 0 0 11 N § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Contoh i. Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. x 5 3 6 0 1 4 0 0 8 O § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ x 11 2 5 1 4 7 3 0 6 15 0 0 9 P § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Contoh B. Operasi Hitung Perkalian matriks AB z BA Contoh

1. Diketahui matriks

2 3 5 1 0 8 3 1 7 A § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 4 5 1 1 0 2 3 3 1 B § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Nilai matriks C yang memenuhi 2C 3B A adalah . . . . x 4 0 0 2 1 0 3 5 8 Q § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ x 3 0 0 0 2 1 0 0 5 13 9 0 8 1 7 4 R § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Bab 17 Matriks 123 A. 7 2 6 6 0 5 1 7 5 C § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ B. 7 6 1 2 0 7 6 5 5 C § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ C. 1 6 7 7 0 2 5 6 5 C § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ D. 7 1 6 2 0 5 6 7 5 C § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ E. 14 12 2 4 0 14 12 10 10 C § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Jawab: 4 5 1 2 3 5 2 3 1 2 1 0 8 3 3 1 3 1 7 12 15 3 2 3 5 2 3 6 1 0 8 9 9 3 3 1 7 2 12 3 15 5 3 2 1 3 8 6 3 9 1 9 7 3 14 12 2 2 4 0 14 12 10 10 7 6 1 2 0 7 6 5 5 C C C C C § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Kunci: B 2. Diketahui matriks 2 1 5 4 5 , , 5 6 3 11 2 a P Q R b § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Bila PQ R, maka nilai a dan b berturut- turut adalah . . . . A. a 4 dan b 6 B. a 4 dan b 6 C. a 4 dan b 6 D. a 4 dan b 6 E. a 6 dan b 4 Jawab: 2 1 5 4 5 5 6 3 11 2 10 2 3 4 5 25 6 5 18 11 2 PQ R a b b a b a § ·§ · § · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © ¹© ¹ © ¹ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ x 10 b 4 x 2a 3 5 b 4 10 2a 5 3 b 6 2a 8 b 6 a 4 atau x 25 6b 11 6b 11 25 6b 36 b 6 x 5a 18 2 5a 18 2 5a 20 a 4 Jadi, a 4 dan b 6. Kunci: C C. Transpos Transpos matriks A atau A T adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-j dan sebaliknya menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-i. Misalnya: 6 5 1 6 2 4 2 3 7 , maka 5 3 0 4 0 9 1 7 9 T A A § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Sifat-sifat matriks transpos adalah sebagai berikut. x A B T A T B T x A T T A x cA T cA T , c adalah konstanta x AB T B T A T Contoh Jika matriks 5 3 5 6 dan 6 1 3 p A B x p § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jika A T B, maka nilai x adalah . . . . A. 2 D. 1 B. E. 2 C. 1 2 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA 124 2. Invers matriks Matriks persegi dengan ordo 2 u 2. a b A c d § · ¨ ¸ © ¹ Determinan dari matriks A adalah |A| ad bc Invers dari matriks A, memenuhi AA 1 A 1 A I, di mana I matriks identitas. Invers matriks A atau biasa ditulis A 1 adalah 1 1 d b A c a ad bc § · ¨ ¸ © ¹ Suatu matriks mempunyai invers apabila: x matriks tersebut adalah matriks persegi x determinannya tidak sama dengan nol

1. Determinan

Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan |A|. Untuk matriks A berordo 2 u 2, determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut. a b A c d § · ¨ ¸ © ¹ Determinan A adalah |A| a b c d ad bc Untuk matriks B berordo 3 u 3 determinan matriks B didefinisikan sebagai berikut. a b c B d e f g h i § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ a b c a b B d e f d e g h i g h aei bfg cdh ceg afh bdi Jawab: 5 3 5 6 , 6 1 3 1 5 6 5 6 3 1 3 T T p A A x p x A B p x p § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · § · œ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Sehingga diperoleh, x 3p 3 x x 1 p p 1 x 1 1 x 1 1 x 2 Kunci: E Contoh Diketahui matriks 3 3 2 4 x x A x § · ¨ ¸ © ¹ . Nilai x jika det A 2 adalah . . . . A. 2 3 D. 3 4 B. 3 4 E. 4 C. 2 3 Jawab: |A| 3 3 2 4 x x x 2 |A| 3xx 4 2x 3 2 3x 2 12x 2x 6 2 0 3x 2 14x 6 2 0 3x 2 14x 8 0 3x 2x 4 0 x 2 3 atau x 4 Kunci: C Contoh Diketahui matriks 1 2 5 5 dan 3 1 10 0 A B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jika AX B, maka matriks X adalah . . . . A. 1 2 6 0 § · ¨ ¸ © ¹ D. 1 2 6 § · ¨ ¸ © ¹ B. 1 2 5 5 3 6 5 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ E. 1 2 5 5 3 1 5 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ C. 1 2 6 § · ¨ ¸ © ¹ D. Determinan dan Invers Matriks Bab 17 Matriks 125 Jawab: x AX B A 1 AX A 1 B IX A 1 B X A 1 B x |A| 11 23 1 6 5 x 1 1 2 1 2 1 5 5 3 3 1 1 5 5 5 A § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨ ¸ © ¹ x 1 2 5 5 1 2 5 5 3 10 6 0 1 5 5 X § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ ¨ ¸ © ¹ Kunci: A S oal Pemantapan Ujian Nasional K ompas • Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang operasi hitung matriks. • Soal nomor 5 – 9 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang invers pada matriks. • Soal nomor 10 – 15 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari determinan dan akar-akar persamaan kuadrat. A. 3 D. 0 B. 2 E. 1 C. 1

5. Jika