Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
7
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: ax
2
bx c 0, a, b, c R, dan a z 0 dengan:
x adalah variabel a adalah koefisien dari x
2
b adalah koefisien dari x c adalah konstanta
A.
Persamaan Kuadrat
Nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat 3
x
2
0 adalah . . . . A.
a 1, b 1, c 3
B. a
3, b 0, c 1 C.
a 1, b 0, c 3
D. a 1, b 3, c 0
E. a
3, b 1, c 0
Jawab:
Bentuk umum persamaan kuadrat: ax
2
bx c 0 3
x
2
x
2
0 · x 3 Jadi, a
1, b 0, dan c 3.
Kunci: C
Contoh
Untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu dengan memfaktorkan,
melengkapkan kuadrat, dan menggunakan rumus.
1. Memfaktorkan
ax
2
bx c ax
p ax q a
di mana: b p q
ac p · q
2. Melengkapkan kuadrat
ax
2
bx c 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 2
4 b
c x
x a
a b
b c
b x
x a
a a
a b
ac b
x a
a x
p q
x p
q x
q p
§
· §
·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
r r
di mana:
z
2 2
4 ,
, 2
4 b
ac b
p q
a a
a
3. Rumus
ax
2
bx c 0 . . . . dikali 4a Sehingga,
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 4
4 4
2 4
2 4
2 4
4 2
2 a x
abx ac
a x abx
b b
ac ditambah b ax
b b
ac ax
b b
ac ax
b b
ac b
b ac
x a
b D
x a
r r
r r
di mana D b
2
4ac D diskriminan
Contoh
Penyelesaian dari persamaan kuadrat x3x
4 3x 10 adalah . . . .
B.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Bab Bab
Bab Bab
Bab
2
Persamaan dan Fungsi Persamaan dan Fungsi
Persamaan dan Fungsi Persamaan dan Fungsi
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Kuadrat Kuadrat
Kuadrat Kuadrat
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
8
A. 3
5 D.
2 B.
3 5
E. 2
C. 2
5
Jawab:
x3x 4 3x 10
3x
2
4x 3x 10 3x
2
4x 3x 10 0 3x
2
x 10 0 3x
5x 2 0 3x
5 0 atau x 2 0 x
5 3
x 2
Kunci: D
C.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat 4x
2
px 25 0 adalah x
1
dan x
2
. Jika akar-akar persamaan kuadrat x
1 2
x
2 2
12,5, maka nilai p adalah . . . .
A. 20
D. 8 B.
12 E.
25 C.
4
Jawab:
4x
2
px 25 0 x
a 4, b p, c 25
x x
1
x
2
4 b
p a
x x
1
· x
2
25 4
c a
x x
1 2
x
2 2
12,5 x
1
x
2 2
2x
1
x
2
12,5 §
· u
¨ ¸
© ¹
2
25 2
4 4
p 12,5
2
25 16
2 p
12,5
2
16 p
25 12,5
2
2
16 p
25 p
2
16 u 25 p
2
400 p
r20
Kunci: A
Persamaan kuadrat ax
2
bx c 0 mempunyai akar-akar
2 2
1,2
4 ,
4 2
b b
ac x
D b
ac a
r
, a
z 0. Nilai x
1
dan x
2
bergantung dengan diskriminan D yang berarti membedakan jenis akar.
1. D
0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang berbeda.
2. D
0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama.
3. D
0, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata kedua akar imajiner.
D.
Jenis-jenis Persamaan Kuadrat
Dari rumus
2 1,2
4 2
b b
ac x
a r
Misalkan
2 1
4 2
b b
ac x
a
2 2
4 2
b b
ac x
a
maka:
1 2
1 2
dan b
c x
x x
x a
a
Bukti:
x
2 2
1 2
4 4
2 2
b b
ac b
b ac
x x
a a
2 2
b b
a a
•
u
2 2
1 2
4 4
2 2
b b
ac b
b ac
x x
a a
2 2
2 2
2 2
2
4 2
4 4
b b
ac a
b b
ac c
a a
Contoh
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
9
Sifat dari akar persamaan kuadrat 5x
2
6x 2 0 adalah . . . . A.
akar-akarnya sama B.
akar-akarnya bilangan rasional C.
akar-akarnya imajiner D. akar-akarnya bilangan irasional
E. akar-akarnya bilangan berbeda
Jawab: x
5x
2
6x 2 0 a 5, b 6, c 2 x
D b
2
4ac 6
2
452 36 40
4 D
0, maka persamaan kuadrat akar-akarnya imajiner.
Kunci: C
x
1 2
6 2
3 x
x
x
u
1 2
2 3
x x
Sekarang kita cari nilai p q dan p u q.
x
1 2
1 2
1 2
1 1
2 3
2 3
2 2
3 x
x p
q x
x x x
u
x u
u u
1 2
1 2
1 1
1 1
3 2
2 3
p q
x x
x x
Sehingga diperoleh persamaan kuadrat berikut.
2
3 3
2 x
x 0 ..... kedua ruas dikali 2
2x
2
6x 3 0
Kunci: D
E.
Membentuk Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x
1
dan x
2
dapat dibentuk dengan menggunakan rumus berikut.
ax x
1
x x
2
atau ax
2
x
1
x
2
x x
1
x
2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadarat
3x
2
6x 2 0 adalah . . . . A.
3x
2
2x 6 0 B.
3x
2
2x 6 0 C.
2x
2
6x 3 0 D. 2x
2
6x 3 0 E.
2x
2
6x 3 0
Jawab:
Misalkan akar-akar kuadrat yang dicari adalah p dan q, maka persamaan kuadrat
tersebut adalah x
2
p qx p q 0 dengan
1
1 p
x dan
2
1 q
x .
Contoh
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah fx
ax
2
bx c. Dari bentuk umum tersebut dapat diperoleh
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4
2 4
4 2
4 2
4 2
4 b
f x a x
x c
a b
b a
x c
a a
b b
a x c
a a
b ac
b a x
a a
b D
a x a
a b
D a x
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
½
° °
§ ·
® ¾
¨ ¸
© ¹
° °
¯ ¿
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
Dari rumus di atas, diperoleh aturan berikut. a.
x Jika a
0, maka grafik terbuka ke atas. x
Jika a 0, maka grafik terbuka ke bawah.
b. x
Jika D 0, maka grafiknya menyinggung
sumbu-x.
F.
Fungsi Kuadrat
Contoh
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
10 1.
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik
12, 0 dan mempunyai titik balik 15, 3 adalah . . . .
A. fx
3x 15
2
3 B.
fx 3x 15
2
3 C.
fx
2
1 15
3 3
x D. fx
2
1 15
3 3
x
E. fx
2
1 15
3 3
x
Jawab:
Fungsi kuadrat fx ax p
2
q dengan koordinat titik balik p, q
15, 3. Fungsi fx
ax 15
2
3 Grafik melalui titik
12, 0 sehingga diperoleh nilai sebagai berikut.
a12 15
2
3 3 a3
2
3 9a a
3 1
9 3
Jadi,
2
1 15
3 3
f x x
Kunci: D 2.
x Jika D
0, maka grafiknya memotong sumbu-x pada dua titik.
x Jika D
0, maka grafiknya tidak memotong sumbu-x.
c. Ilustrasi kurva terhadap sumbu-x
i ii
a 0 dan D 0
a 0 dan D 0
iii iv
a dan D 0
a 0 dan D 0
v vi
a 0 dan D 0
a 0 dan D 0
x Untuk a
0 dan D 0, grafik semuanya berada di atas sumbu-x, dan fx disebut
definit positif. Lihat gambar v. x
Untuk a 0 dan D 0, grafiknya semuanya
berada di bawah sumbu-x, dan fx disebut definit negatif. Lihat gambar vi.
x Koordinat titik ekstrim atau titik balik
fungsi ,
2 4
b D
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
x Persamaan sumbu simetri
2 b
x a
x Nilai maksimum atau minimum fungsi
4 D
y a
d. Menentukan persamaan fungsi kuadrat
Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat dapat menggunakan rumus-rumus berikut.
x x
x x
x x
Contoh
1. fx
ax
2
bx c jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh kurva tersebut.
2. fx
ax x
1
x x
2
jika x
1
dan x
2
merupakan absis titik potong dengan sumbu-x dan satu titik
lain diketahui. 3.
fx ax p
2
q jika p, q titik puncak dan satu titik lain diketahui.
Persamaan fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah . . . .
x y
1, 0 0,
2 5, 0
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
11
fx ax 5x 1.
Grafik melalui titik 0, 2, sehingga
2 a0 50 1 2 a51
2 5a
a 2
5 Jadi, persamaan grafik tersebut adalah
sebagai berikut.
2
2 5
1 5
2 4
5 5
f x x
x x
x
Kunci: A
A. fx
2
2 4
5 5
x x
B. fx
2
5 4
5 2
x x
C. fx
2
2 4
5 5
x x
D. fx
2
5 4
5 2
x x
E. fx
2
5 4
5 2
x x
Jawab:
Grafik memotong sumbu-x di dua titik yaitu
5, 0 dan 1, 0, maka
S
oal Pemantapan Ujian Nasional
K
ompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari cara menyusun persamaan
kuadrat. •
Soal nomor 4 – 8 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari jumlah akar-akar persamaan kuadrat dan dalil Pythagoras.
• Soal nomor 9 – 12 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi ini.
3. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai
