Pembuktikan Persamaan Gravitasi dari Hukum Kepler

Bab 8 Gravitasi 570 r A r P v A v P R R Gambar 8.12 Saat berada di apogee dan perigee, planet seolah bergerak dalam lintasan lingkaran dengan jari-jari yang sama. Di titik apogee titik terjauh dari matahari dan perigee titik terdekat dengan matahari planet bergerak dalam arah tegak lurus vektor penghubungn dengan matahari. Pada titik tersebut seolah-olah planet bergerak dalam orbit lingkaran dengan jari-jari R sama dengan jarik-jari kelengkungan kurva di titik apogee dan perigee. Laju planet pada titik apogee adalah v A dan pada titik perigee adalah v P . Gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadi R mv F A A 2  8.28 Karena ellips adalah bangun yang bersifat simetri maka jari-jari kelengkungan di titik perigee juga R. Dengan demikian, gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadi Bab 8 Gravitasi 571 R mv F P P 2  8.29 Akibatnya pergandingan gaya pada dua titik tersebut adalah 2 2 P A P A v v F F  8.30 Berdasarkan persamaan 8.23 luas bidang yang ditempuh planet selama selang waktu t ketika berada di titik apogee adalah t v r M M A o A A p p A    90 sin 2 1 t v r A A   2 1 8.31 Dengan penurunan yang sama maka luas bidang yang ditempuh planet selama selang waktu t ketika berada di titik perigee adalah t v r A P P P    2 1 8.32 Dengan hukum II Kepler maka P P A A    Bab 8 Gravitasi 572 yang menghasilkan A A P P v r v r  Atau 2 2 2 2 A P P A r r v v  8.33 Substirusi persamaan 8.33 ke dalam persamaan 8.30 kita dapatkan 2 2 A P P A r r F F  8.34 Dari bentuk persamaan 8.34 dapat kita simpulkan bahwa gaya yang bekerja pada planer memenuhi persamaan umum 2 r K F   8.35 dengan K adalah konstanta yang bergantung pada sifat planet dan matahari. Tanda negatif dimasukkan untuk menyatakan gaya tarik. Tampak bahwa persamaan 8.35 persis sama dengan hukun gravitasi Newton dengan asumsi K = GM 1 M 2 . Dengan perkataan lain bahwa berdasarkan hukum Kepler I dan II kita dapat membuktikan bahwa gaya tarik antara planet dan matahari berbanding terbalik dengn pangkat dua jarak antara planet dan matahari. Bab 8 Gravitasi 573

8.11 Lubang Hitam Black Hole

Di akhir masa hidupnya bintang akan mengerut karena gaya gravitasi antar materi penyusun bintang menjadi lebih kuat daripada gaya akibat tekanan radiasi dari dalam sehingga energi potensial benda yang berada di permukaan bintang makin kecil. Pada saat bintang masih hidup kedua gaya tersebut sama besar sehingga bentuk dan ukuran bintang stabil. Dengan berakhirnya reaksi nuklir di dalam bintang maka tekanan radiasi menurun drastis. Pertanyaa adalah bagaimana efek pengkerutan tersebut pada benda yang berada di permukaan bintang? Energi potensial benda bermassa m yang berada di permukaan bintang adalah R GMm U   dengan M = massa bintang; R = jari-jari bintang. Pada jarak yang tak berhingga dari bintang, energi potensial massa m adalah 0 tidak merasakan lagi pengaruh gravitasi bintang. Misalkan energi kinetik benda saat di permukaan bintang adalah K 1 dan energi kinetik pada jarak yang tak berhingga dari bintang adalah K 2 . Dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik kita dapat menulis 2 1 K K R GMm     8.36 Benda dapat melepaskan diri dari ikatan oleh bintang apabila energi kinetik pada jarak tak berhingga lebih besar atau sama dengan nol, atau K 2  0. Syarat ini berimplikasi Bab 8 Gravitasi 574 1    K R GMm atau R GMm mv  2 2 1 atau R GM v 2 2  8.37 Laju terbesar di alam adalah laju cahaya. Jadi, tidak akan ada benda yang dapat lepas dari permukaan bintang jika terpenuhi 2 2 c R GM  atau 2 2 c GM R  8.38 Persamaan 8.38 menyatakan bahwa ada satu jari-jari kiritis yang menjadi batas benda dapat lolos atau tidak dapat lolos benda dari bintang. Jari-jari kritis tersebut adalah 2 2 c GM R Sc  8.39