Energi Mekanik Benda dalam Orbit Gangguan pada Kecepatan Orbit

Bab 8 Gravitasi 558 Karena benda bergerak dalam orbit lingkaran maka laju benda memenuhi persamaan F r mv  2 atau Fr mv 2 1 2 1 2  8.15 Substitusi persamaan 8.15 ke dalam persamaan 8.14 kita peroleh ungkapan energi mekanik benda yang sedang berada dalam orbit adalah r GMm Fr EM   2 1 r GMm r r GMm         2 2 1 r GMm 2 1   8.16 Tampak dari persamaan 8.16 bahwa energi mekenaik benda yang sedang bergerak pada orbit lingkaran mengelilingin benda lain sama dengan setengah energi potensial. Tetapi karena kedua energi tersebut bertanda negatif maka energi mekanik lebih besar daripada energi potensial. Bab 8 Gravitasi 559

8.7 Gangguan pada Kecepatan Orbit

Misalkan benda m sedang mengorbit benda M pada lintasan lingkaran dengan jari-jari r 1 . Misalkan secara tiba-tiba laju benda m berubah misalnya oleh tabrakan benda lain planet ditabrak oleh asteroid besar. Pertanyaan, apa yang terjadi dengan orbit planet tersebut? Jelas di sini bahwa yang mengalami perubahan adalah energi kinetik benda sedangkan energi potensial tidak berubah. Dengan berubahnya energi kinetik maka energi mekanik benda berubah. Karena energi mekanik benda memenuhi persamaan 8.16 maka benda tidak bisa lagi bertahan di orbit berjari-jari r 1 . Benda akan berpindah ke orbit dengan jari-jari r 2 sedemikian sehingga energi mekanik baru memenuhi persamaan 8.16. Berapa jari-jari orbit baru tersebut? Mari kita hitung dan perhatikan Gambar 8.9. Ketika masih berada di orbit dengan jari-jari r 1 maka energi kinetik dan energi mekanik benda m adalah 2 1 1 2 1 mv K  1 1 2 1 r GMm EM   Jika laju benda tiba-tiba berubah sebesar v maka energi kinetik benda m berubah menjadi   2 1 1 2 1 v v m K      2 2 1 2 2 1 v v v v m      Bab 8 Gravitasi 560 v 1 r 1 M m r 2 Gambar 8.9 Benda bepindah orbit jika tiba-tiba lajunya berubah Perubahan energi kinetik benda adalah K K K    1   2 2 2 1 v v v m     8.17 Dan energi mekanik benda berubah menjadi Bab 8 Gravitasi 561 K EM EM    1   2 1 2 2 1 2 1 v v v m r GMm       8.18 Benda m akan meloncat ke orbit dengan jari-jari r 2 sehingga energi mekaniknya sama dengan energi mekanik yang diberikan persamaan 8.18. Jadi, jari-jari orbit baru memenuhi   2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 v v v m r GMm r GMm        atau   2 1 2 2 1 1 1 v v v GM r r      8.19 Mudan dibuktikan pada persamaan 8.19 jika v 0 atau laju benda tiba-tiba bertambah maka suku kedua di ruas kanan negatif. Akibatnya 1r 2 1r 1 atau r 2 r 1 . Dengan demikian benda meloncat ke orbit dengan jari-jari lebih besar. Sebaliknya, jika v 0 atau laju benda dan v v   maka suku kedua di ruas kanan berharga positif. Akibatnya Akibatnya 1r 2 1r 1 atau r 2 r 1 . Dengan demikian benda meloncat ke orbit dengan jari-jari lebih kecil. Kondisi yang menarik terjadi jika suku di ruas kanan nol. Jika ini terjadi mana 1r 2 = 0, yang berarti r 2 = . Ini adalah kondisi benda m lepas dari ikatan dengan M dan bergerak menuhi tak berhingga. Berapakah pertambahan kecepatan agar kondisi ini terjadi? Bab 8 Gravitasi 562   2 1 1 2 1      v v v GM r 2 1 2 2        r GM v v v v Solusi persamaan ini adalah 2 4 2 2 1 2 r GM v v v      1 2 r GM v v     8.20 Karena pada orbit r 1 terpenuhi hubungan 2 1 1 2 r GMm r mv  atau 2 1 v r GM  8.21 Substitusi persamaan 8.21 ke dalam 8.20 kita peroleh 2 2 v v v v      Bab 8 Gravitasi 563   v 1 2   v 414 ,  8.22 Persamaan 8.22 memberikan informasi bahwa benda akan lepas dari orbit jika tambahan laju minimal 0,414 dari laju stasioner ketika berada di orbit lingkaran. Contoh 8.6 Jarak planet merkurius ke matahari asalah 0,387 AU 1 AU = jarak bumi-matahari. Jika merkurius ditabrak oleh asteroid yang sangat beras, berapakah perbuahan laju merkurius agar lepas dari ikatan matahari? Jawab Jari-jari orbit merkuriaus r m = 0,387  150 juta km = 58 juta km = 5,8  5,8  10 10 m. Karena merkurius berada pada orbit stasioner maka terpenuhi m m m m M r v M r M M G 2 2  atau m M m r GM v  10 30 11 10 8 , 5 10 2 10 67 , 6       = 4,8  10 4 ms Bab 8 Gravitasi 564 Merkurius dapat lepas dari ikatan dengan matahari jika terjadi perubahan laju yang memenuhi persamaan 8.22, yaitu v v 414 ,   10 8 , 4 414 , 4    = 2  10 4 ms

8.8 Hukum Kepler untuk Gerak Planet

Hukum gravitasi umum Newton dapat menjelaskan dengan sangat teliti gerakan planet-planet mengelilingi matahari. Namun, sebelum Newton merumuskan hukum gravitasi, Johannnes Kepler telah merumuskan tiga hukum gerak planet yang sangat terkenal saat itu. Hukum I Kepler Setiap planet bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan berbentuk ellips dan matahari terletak pada salah satu titik fokus ellips ellips memiliki dua titik fokus Gambar 8.10. Hukum II Kepler Pada selang waktu yang sama, garis penghubung planet dan matahari menyapu daerah yang sama luasnya Gambar 8.10. Bab 8 Gravitasi 565 titik fokus sama luas Matahari planet Gambar 8.10 Lintasan planet mengelilingi matahari berbentuk ellips. Pada selang waktu yang sama garis hubung planet dan matahari menyapu daerah yang luasnya sama. Hukum III Kepler Perbandingan kuadrat periode revolusi planet mengelilingi matahari dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet ke matahari sama untuk semua planet.

8.9 Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton

Sangat mencengangkan ternyata semua hukum Kepler dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum gravitasi umum Newton. Untuk membuktikan hukum I Kepler kita perlu pengetahuan matematika yang lebih tinggi, yaitu kalkulus. Di sini kita buktikan buktikan bahwa hukum gravitasi Newton dapat menurunkan hukum II dan III Kepler.