Menentukan Pusat Massa dengan Metode Integral

Bab 6 Momentum 472 fungsi posisi dan kita ingin mengetahui pusat massa benda tersebut. Bagaimana cara menentukannya? Salah satu yang umum digunakan adalah metode ingegral. Caranya sebagai berikut. m 1 m 2 m i i r  Gambar 6.21 Menentukan lokasi pusat massa benda kontinu yang besar. Kita bagi benda besar atas elemen-elemen massa yang sangat kecil. Elemen ke-i memiliki massa m i dan berada pada posisi i r  . Jumlah elemen massa adalah N dan menuju tak berhingga karena ukuran masing-masing elemen menuju nol. Dengan pembagian ini maka lokasi pusat massa memenuhi persamaan 6.38 yang dapat ditulis ulang menjadi N i N N i i pm m m m m r m r m r m r m r                    ... ... ... ... 2 1 2 2 1 1      Bab 6 Momentum 473        N i i N i i i m r m 1 1  M r m N i i i     1  6.41 dengan     N i i m M 1 adalah massa total benda. Jika ukuran elemen massa menuju nol dan jumlah elemen massa jumlah suku penjumlahan menuju tak berhingga maka pen jumlahan 6.41 dapat diganti dengan integral dengan transformasi sebagai berikut dm m i   r r i        ... ... 1 N i Dengan transformasi ini maka persamaan 6.41 berubah menjadi M dm r r pm     Bab 6 Momentum 474 M dV r     6.42 dengan  adalah massa jenis dan memenuhi hubungan dm = dV. Dengan cara serupa maka massa benda memenuhi persamaan integral   dV M  6.43 Untuk kasus khusus satu dimensi, persamaan 6.42 dan 6.43 dapat ditulis dalam bentuk sederhana sebagai berikut M xdx x pm    6.44a   dx M  6.44b di mana  adalah massa per satuan panjang. Massa per satuan panjang bisa konstan atau bisa juga bergantung posisi. Berikut adalah contoh perhitungan pusat massa. Contoh 6.7 Sebuah batang memiliki panjang L. Ujung kiri batang berada pasa posisi x = 0 dan ujung kanan berada pada posisi x = L. Massa per satuan panjang batang memenumi 2 bx a    di mana a dan b adalah konstanta. Tentukan lokasi pusat massa batang. Jawab Pertama kita hitung massa batang Bab 6 Momentum 475   L dx M       L dx bx a 2 L bx ax 3 3 1       2 3 1 bL aL   Lokasi pusat massa batang M xdx x L pm      M xdx bx a L    2   M dx bx ax L    3 M bx ax L 4 2 4 1 2 1       Bab 6 Momentum 476 2 4 2 2 1 4 1 2 1 bL aL bL aL    bL a bL aL 2 4 2 3    6.8 Kecepatan Pusat Massa Setelah mendefinisikan posisi pusat massa, selanjutnya kita akan mendefinisikan kecepatan pusat massa. Berdasarkan persamaan 6.38 kita dapat menulis perubahan pusat massa n n pm m m m r m r m r m r            ... ... 2 1 3 2 2 1 1     6.41 Apabila ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dibagi t  maka, kita peroleh n n pm m m m t r m t r m t r m t r                ... ... 2 1 3 2 2 1 1     6.42 Dengan mengingat definisi kecepatan, kita selanjutnya dapat menulis n n n pm m m m v m v m v m v        ... ... 2 1 2 2 1 1     6.43 Bab 6 Momentum 477 Tampak bahwa rumus untuk menghitung kecepatan pusat massa persis sama dengan rumus untuk menghitung posisi pusat massa. Yang dilakukan hanya mengganti posisi dengan kecepatan. Selanjutnya, mengingat v m p    , kita juga dapat menulis persamaan 6.43 sebagai n n pm m m m p p p v        ... ... 2 1 2 1     6.44 6.9 Percepatan Pusat Massa Setelah mendefinisikan posisi pusat massa dan kecepatan pusat massa, terakhir kita akan mendefinisikan percepatan pusat massa. Dari persamaan 6.43 kita dapat menulis n n n pm m m m v m v m v m v            ... ... 2 1 2 2 1 1     Bagi ruas kanan dan kiri dengan t sehingga diperoleh n n n pm m m m t v m t v m t v m t v                ... ... 2 1 2 2 1 1     atau n n n pm m m m a m a m a m a        ... ... 2 1 2 2 1 1     6.45 Tampak juga bahwa rumus untuk menghitung percepatan pusat massa persis sama dengan rumus untuk menghitung posisi pusat massa Bab 6 Momentum 478 maupun kecepatan pusat massa. Selanjutnya, mengingat hukum Newton II a m F    , kita juga dapat menulis n n pm m m m F F F a        ... ... 2 1 2 1    6.46 Hubungan gerakan pusat massa dan hukum kekekalan momentum linier Telah kita bahas bahwa jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada system maka momentum total sistem konstan meskipun terjadi tumbukan antar sistem. Atau m n p p p p p p ... ... 2 1 2 1             . Kita bagi ke dua ruas dengan ... 2 1 n m m m    maka diperoleh n m n n m m m p p p m m m p p p              ... ... ... ... 2 1 2 1 2 1 2 1       6.47 Selama tumbukan tidak terjadi perubahan massa total. Jumlah partikel bisa saja berubah makin sedikit atau makin banyak tetapi massa total partikel sama. Dengan demikian m n m m m m m m        ... ... 2 1 2 1 Dengan kesamaan ini maka penyebut di ruas kanan dapat diganti dengan ... 2 1 m m m m    sehingga kita peroleh m m n n m m m p p p m m m p p p              ... ... ... ... 2 1 2 1 2 1 2 1       6.47 Bab 6 Momentum 479 Kalau kalian perhatikan, ruas kiri tidak lain daripada kecepatan pusat massa sebelum tumbukan dan ruas kanan adalah kecepatan pusat massa sesudah tumbukan. Jadi pada proses tumbukan yang tidak melibatkan gaya luar, pusat massa bergerak dengan kecepatan konstan, pm pm v v  6.48

6.10 Gerak Roket

Roket adalah mesin yang mengalami percepatan mendapat gaya dorong akibat pelepasan udara hasil pembakaran ke arah belakang. Mesin jet juga bekerja pada prinsip yang serupa. Bahan bakar pesawt jet dibakar dan dodorong ke balakang dengan kecepatan yang sangat tinggi. Dorongan tersebut menyebabkan mesin pesawat mendapat gaya dorong ke depan. Mesin roket dan mesin jet hanya berbeda pada jenis bahan bakar, namun prinsip utamanya sama yaitu melontarkan gas ke belakang dengan kecepatan tinggi. Bahan bakar pesawat jet dibakar melaui reaksi oksidasi dengan menyerap oksigen dari atmosfer. Mesin roket tidak menyerak gas dari luar untuk melakukan proses pembakaran karena mesin roket dapat bekerja dalam ruang hampa. Semua gas yang diperlukan untuk proses pembakaran dibawa bersama roket. Irulah sebabnya sebagian besar massa roket adalah massa bahan bakar. Massa bahan bakar roket dapat mencapai 90 dari massa total. Dengan demikian di tahap pembakaran massa roket tinggal 10 massa saat peluncuran. Kita akan jelaskan secara sederhana munculnya gaya dorong pada roket. Sebagai ilustrasi perhatikan Gambar 6.22. Kita lihat dua kondisi pada saat t dan pada saat t+t. Kita ukur gerakan roket relatif terhadap koordinat di permukaan bumi. Pada saat t roket memiliki kecepatan v  dan massa M. Roket juga memancarkan gas ke belakang dengan kecepatan u  yang nilainya konstant relatif terhadap roket. Dengan demikian, kecepatan gas relatif terhadap koordinat di bumi adalah u v    . Selama selang waktu t massa gas yang dibuang roket adalah M. Pada roket juga bekerja gaya gravitasi g F  ke arah pusat bumi. Momentum sistem pada saat t adalah Bab 6 Momentum 480 v M t p    6.49 v  v v     g F  M M M   M  u v    t t t   Gambar 6.22. Skema gerakan roket. Momentum sistem pada saat t+t adalah u v M v v M M t t p                6.50 Perubahan momentum roket t p t t p p        