Gerak Turun Melingkar dengan Gesekan

1044  sin 2 1 2 mgr mv  13.7 Gambar 13.3 Benda bergerak menuruni lintasan seperempat lingkaran yang memiliki gaya gesekan. Namun, karena ada gesekan maka laju yang dicapai lebih kecil dari itu. Tidak semua perubahan energi potensial menjadi energi kinetik. Sebagian energi potensial berubah menjadi kalor akibat adanya gaya gesekan. Persamaan energi untuk gerakan dengan adanya gaya gesekan adalah f W mgr mv    sin 2 1 2 13.8 denga W f adalah kerja yang dilakukan oleh gaya gesekan yang memenuhi    ds f W k f 13.9 Besarnya gaya gesekan kinetik memenuhi persamaan N f k k   dengan N adalag gaya normal yang dialami benda. Besarnya gaya normal berbeda-beda 1045 pada posisi yang berbeda. Gaya normal dapat dihitung dari persamaan Newton untuk gerak melingkar sebagai berikut r mv mg N 2 sin    atau r mv mg N 2 sin    13.10 Dengan demikian, gaya yang dilakukan oleh gaya gesekan menjadi           ds r mv mg W f 2 sin  13.11 Akhirnya, laju benda setiap saat dihitung dengan persamaan           ds r mv mg mgr mv 2 2 sin sin 2 1   13.12 Perhatikan persamaan 13.2. Kita ingin mencari laju tetapi melalui integral besaran yang mengandung laju. Tentu sulit bukan? Dalam mempelajari mekanika riil di lapangan kita sering berhadapan dengan kasus seperti ini. Dan penyelesaian seringkali tidak dapat dilakukan dengan cara biasa. Kita harus menggunakan cara numerik. Berikut adalah salah satu cara numerik yang dapat dilakukan. Untuk memulainya, mari kita bagi lintasan seperempat lingkaran atas n buah litantasan-lintasan kecil yang panjangnya sama seperti ditunjukkan pada Gambar 13.4. Besar sudut tiap elemen adalah n 2     13.13 1046 Panjang satu elemen adalah     r s 13.14 Gambar 13.4 Lintasan kita bagi atas elemen-elemen kecil yang sama panjang. Gaya gesekan arah menyinggung lintasan ke arah atas yang dialami benda ketika berada pada posisi yang membentuk sudut  adalah N f k k   . Karena menda mendapat komponen gaya gravitasi yang menyinggung lintasan ke arah bawah sebesar  cos mg maka gaya netto meninggung lintasan ke arah bawah yang dialami benda adalah N mg f k     cos tan 13.15 Dengan memasukkan ungkapan untuk gaya normal dari persamaan 13.10 ke dalam persamaan 14.15 maka kita dapat menulis          r mv mg mg f k 2 tan sin cos    13.16 Percepatan ke arah bawah yang dialami benda adalah m f a tan  atau 1047          r v g g a k 2 sin cos    13.17 Dari persamaan ini kita hitung laju benda secara numerik. Kita telah membagi lintasan atas n buah elemen. Kita beri indeks elemen-elemen tersebut dari indeks i = 0 sampai indeks i = n. Indeks i = 0 adalah posisi awal di mana   dan kita anggap laju awal  v . Indeks i = 1 memiliki     1 , indeks i = 2 memiliki     2 2 dan setersunya. Secara umum indeks i sembarang memiliki sudut     i i . Perhitungan untuk laju pada berbagai indeks dilakukan sebagai berikut  v     1          r v g g a k 2 1 1 1 sin cos           r a v s a v v 1 2 1 2 2 1 2 2 atau     r a v v 1 2 1 2     2 2          r v g g a k 2 1 2 2 2 sin cos        r a v v 2 2 1 2 2 dan seterusnya. Secara umum, persamaan numerik yang kita gunakan adalah     i i 1048           r v g g a i i k i i 2 1 sin cos    13.18      r a v v i i i 2 2 1 13.19 Gambar 13.5 adalah tampilan Excel hasil perhitungan. Gambar 13.5 Contoh hasil perhitungan dengan Excel. Penjelasan tiap kolom sebagai berikut: Cell H1 adalah jumlah eleman yang dibuat, yaitu n = 500 1049 Cell H2 adalah ukuran sudut tiap eleman, yaitu   =2500 Cell H3 adalah percapatan gravitasi g = 9,82 ms 2 . Cell H4 adalah jari-jari lintasan r = 1 Kolom A adalah sudut tiap elemen, mulai dari  = 0 hingga  500 = 2 Kolom B adalah percepatan pada berbagai elemen yang dihitung dengan persamaan 14.16. Untuk menentukan nilai perepatan pada tiap Cell, tempatkan kursor pada Cell A1 lalu ketik persamaan =H3COSA1-H4H3SINA1+C12H5 Kemudian copy Cell A1 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell A500 Kolom C adalah laju benda yang dihitung dengan persamaan 14.17. Mula- mula diberikan laju awal nol yaitu mengisi Cell B1 dengan 0. Untuk menentukan laju lainnya, tempatkan kursor pada Cell B2 lalu ketik persamaan =SQRTC12+2B1H2 Lalu copy Cell B2 ke cell di bawahnya hingga Cell B500 Setelah itu buat grafik percepatan dengan sumbu datar adalah Kolom A dan sumbu vertikal adalah kolom B percepatan Buat juga grafik laju dengan sumbu datar adalah kolom A sudut dan sumbu vertikal adalam kolom C laju Gambar 13.6 memperlihatkan laju benda pada berbagai nilai koefisien gesekan kinetik. Tampak jelas bahwa laju benda makin kecil jika koefisein gesekan kinetik maakin besar. Bahkan untuk koefisien gesekan kinetik 0,75 benda bergenti di tengah jalan. 1050 Gambar 13.6 Laju benda pada berbagai nilai koefisien gesekan kinetik.

13.3 Bandul Simpangan Besar

Bandul yang kita bahas pada bab osilasi adalah bandunl simpangan kecil. Dengan simpangan kecil maka fungsi sinus sudut simpangan dapat didekati dengan sudut simpangan. Akibatnya gerak benda menjadi gerak harmonik sederhana karena gaya sebanding dengan simpangan. Bagaimana jika simpangan osilasor sangat besar? Tentuk pendekatan harmonik sederhana tidak dapat dilakukan dan persamaan yang diperoleh menjadi sulit diselesaikan secara analitik. Kita akan membahas fenomena ini secara numerik. Persamaan gerak bandung yang memiliki massa m dan panjang tali L adalah   sin 2 2 mg dt d mL   13.20 atau   sin 2 2 L g dt d   13.21 1051 Kita tulis kecepatan sudut dt d    Sehingga kita dapat menulis dt d dt d    2 2 Untuk mencari persamaan yang dapat dihitung secara numerik maka kita diskritisasi persamaan di atas sebagai berikt t i i i    1    t dt d i i        1 t t t i i i i                      1 1     2 1 1 2 t i i i          Dengan demikian, persamaan 13.21 dapat ditulis menjadi i i i i L g t     sin 2 2 1 1        atau 2 1 1 sin 2 t L g i i i i                 13.22