Ketinggian Maksimum Gunung di Bumi

Bab 8 Gravitasi 617 Karena tujuan kita di sini juga melakukan perkiraan, bukan menentukan nilai eksak. Asumsi ini semata-mata dilakukan untuk memudahkan pembahasan. Walaupun yang kita bahas adalah gunung dengan bentuk geometri yang bervariaso umumnya menyerupai kerucut, namun dalam prediksi ini kita akan mencari ketinggian maksium sebuah balok silika yang bisa berdiri stabil seperti siilutrasikan pada Gambar 8.29. Gambar 8.29 Mount Everest yang merupakan gunung tertinggi di dunia. Ketinggian puncak tertinggi mencapai 8.850 m famouswonders.com. Seperti diperlihatkan dalam Gambar 8.30 balok yang dianalogikan dengan gunung memiliki ketinggian H. Balok tersebut dibagi atas sejumlah kubus dengan panjang sisi s. Satu kubus berisi satu molekul silika. Jumlah kubus pada masing-masing sisi adalah p, q, dan r. Dengan demikian jumlah molekul silika penyusun balok adalah pqr N  8.98 Jika M SiO2 adalah massa satu molekul silika maka mass balok adalah 2 SiO pqrM M  8.99 Molekul silika yang berada di daras balok menahan beban balok sebesar Mg. Makin tinggi balok maka makin besar beban yang ditahan Bab 8 Gravitasi 618 molekul di dasar balok. Jika balok makin tinggi dan gaya tekan makin kuat maka molekul silikon yang berada di dasar balok tidak sanggup lagi berada dalam fase padat. Molekul-molekul tersebut berubah menjadi plastis dan mengalir. Ketika berubah menjadi plastis maka dasar balok tidak sanggup lagi menahan balok sehingga balok merosot. Setelah merosot maka beban yang dialami silika di dasar balok kembali mengecil sehingga kembali berubah ke wujud padat. Jadi dapat disimpulkan di sini bahwa ketinggian maksimum balok adalah kondisi ketika silika di dasar balok tepat akan berubah dari wujud padat ke wujud plastis akibat menahan berat balok. H s s s p sel q sel r sel Gmbar 8.30 Gunung dimodelkan sebagai balok silika yang berada di atas dasar silika. Ketinggian balok adalah H sama dengan tinggi gunung. Balok dibagi atas sejumlah kubus dengan sisi s. Jumlah kubus pada masing-masing sisi balok adalah p, q, dan r. Tiap kubus diisi dengan satu molekul silika sehingga jumlah molekul sisika penyusun kubus adalah pqr. Misalkan pada ketinggian H balok masih berada dalam keadaan stabil. Misalkan kita tambah lagi ketinggian sebesar satu kubus kecil, yaitu s dan terjadi perubahan dasar balok menjadi plastis maka ketinggian H merupakan ketinggian maksimum balok. Energi yang diperlukan untuk menambah ketinggian balok sebesar s adalah Bab 8 Gravitasi 619 Mgs U  8.100 Energi ini persis sama dengan energi yang diperlukan untuk mengubah satu lapisan molekul silika di dasar balok dari wujud padat ke wujud plastis. Jumlah molekul silika pada satu lapisan di dasar balok adalah pq. Energi yang diperlukan untuk mengubah satu molekul dari fase padat ke fase plastis kita nyatakan dengan  p . Dengan demikian energi yang diperlukan untuk mengubah silika satu lapisan di dasar balok dari fase padat ke plastis adalah p pq E   8.101 Dengan menyamakan energi pada persamaan 8.100 dan 8.101 dan menggunakan persamaan 8.99 kita peroleh p SiO pq gs pqrM   2 p SiO rs g M   2 8.102 Jika kita perhatikan Gambar 8.30 jelas bahwa H = rs. Dengan demikian, ketinggian maksimum balok silika yang diijinkan adalah g M H SiO p 2   8.103 Energi yang diperlukan untuk mengubah wujud padat ke fase plastis tentuk lebih kecil daripada untuk mengubah dari wujud padat ke wujud cair. Pada fase plastis, ikatan antar atom atau molekul masih sangat kuat. Aliran pada fase plastis terjadi karena adanya gaya tekan yang sangat besar. Tetapi pada fase caur, aliran dapat terjadi lebih mudah meskipun gaya yang diberikan kecil. Pada fase cair, atom atau molekul telah menerima energi yang lebih banyak. Energi yang diperlukan untuk mengubah atom atau molekul dari fase pada ke fase cair dinamaakn energi fusi dan kita simbolkan dengan  f . Bab 8 Gravitasi 620 Karena energi yang diperlukan untuk mengubah zat pada ke bentuk plastis lebih kecil daripada untuk mengubah pada ke cair maka dapat kita tulis f p    8.104 dengan  adalag bilangan yang lebih kecil daripada satu 0    1. Substitusi ke dalam persamaan 8.103 kita dapatkan ketinggian maksimum balok silika kira-kira g M H SiO f 2   8.105 Mari kita masukkan data yang ada. Energi fusi molekul silika adalah  = 0,148 eV = 2,37  10 -20 J. Masa molekular SiO 2 adalah 60 sma sehingga M SiO2 = 60  1,66  10 -27 kg = 9,96  10 -26 kg. Bila kita ambil   0,5 maka ketinggian maksimum balok silika yang bisa stabil adalah 82 , 9 10 96 , 9 10 37 , 2 5 , 26 20        H  12 km Nilai ini mendekati ketinggian gunung tertinggi di dunia, yaitu Mount Everest sekitar 10 km. Dari sini kita simpulkan bahwa ternyata ada batas tertinggi ketinggian gunung di dunia. Batas tersebut ditentukan oleh sifat material energi plastis dan kekuatan gravitasi bumi. Itulah yang menjadi penyebab mengapa tidak ada gunung yang tingginya mencapai puluhan kilometer meskipun kita tahun bahwa gunung terus menerus tumbuh. Soal-Soal 1 Tabel 8.1 berikut ini memperlihatkan data planet-planet dalam sistem Bab 8 Gravitasi 621 tata surya. Tabel 8.1 Jari-jari orbit dan periode edar planet Planet Jari-jari orbit rata-rata [AU] Periode orbit [tahun] Merkurius 0,387 0,24 Venus 0,723 0,61 Bumi 1 1 Mars 1,524 1,88 Jupiter 5,203 11,86 Saturnus 9,539 29,46 Uranus 19,18 84,01 Neptunus 30,06 164,8 Catatan: 1 AU = jarai-jari rata-rata obit bumi = 150 juta km. a Berdasarkan data dalam tabel tersebut tentukan b Kecepatan sudut orbit masing-masing planet c Percepatan sentripetal masing-masing planet d Laju dan momentum sudut masing-mnasing planet e Keberlakuan hukum Kepler III f Posisi planet Merkurius terhadap Matahari sebagai fungsi waktu dengan asumsi bahwa pada saat t = 0 planet Merkurius berada pada sumbu x. g Posisi Bumi terhadap planet Venus sebagai fungsi waktu dengan asumsi bahwa pada saat t = 0 bumi berada pada sumbu x positif san Venus berada pada sumbu y positif. h Buktikan bahwa gaya antara satu planet dengan planet lainnya lebih kecil daripada gaya antara planet tersebut dengan matahari. Bab 8 Gravitasi 622 2 Massa jenis suatu planet memenuhi persamaan r = r - dengan  dan  adalah konstanta positif. Jari-jari planet tersebut adalah R. Tentukan a Massa planet b Massa jenis rata-rata planet c Percepatan gravitasi planet sebagai fungsi jarak dari pusat planet hingga jarak tak berhingga d Energi potensial planet pada berbagai jarak 3 Sebuah satelit dengan massa m menngorbit planet yang bermassa M. Jari-jari orbit adalah r. Jika satelit mendadak disimpangkan sedikit dari ortbitnya, yaitu ditarik sedikit menjauh kemudian dilepas, apa yang akan terjadi? Apakah satelit akan kembali ke orbit semula atau bergerak pada orbit baru? Petunjuk: hitunglah apakah setelah satelit disimpangkan sedikit dari orbitnya ada gaya netto yang arahnya ke orbit awal. Jika ada maka satelit akan kembali ke orbit semula. Tetapi jika tidak ada maka satelit akan membentuk orbit baru. 4 Pesawat jet terbang pada ketinggian 11 km di atas permukaan laut dengan laju 850 kmjam. a Jika lintasan pesawat tersebut dianggap berbentuk busur lingkaran berapa percepatan sentripetal pesawat? b Berapa selisih percepatan gravitasi pada lintasan pesawat dengan di permukaan laut? c Pada ketinggian tersebut berapa harusnya laju pesawat agar dapat mengitari bumi pada lintasan lingkaran? 5 Sebuah benda lepas dari ketinggian r = 8R dari pusat bumi dan bergerak menuju bumi dengan laju awal nol. Gambarkan jarak benda dari pusat bumi sebagai fungsi waktu. Petunjuk: Gunakan hukum kekekalan energi mekanik. Energi mekanik benda mula-mula EM = -GMmr energi kinetik nol. Energi mekanik benda pada berbagai posisi EM = - GMmr + mv 2 2. Dengan hukum kekekalan energi mekanik maka diperoleh v 2 = 2GM1r – 1r . Karena benda bergerak menuju ke bumi sehingga jarak dari bumi makin kecil maka kecepatan benda bernilai negatif. Dengan demikian kecepatan benda adalah Bab 8 Gravitasi 623 1 1 2 r r GM v    Karena v = drdt maka          1 1 2 r r GM dt dr          1 2 r r r GM Masukkan r = 8R maka          1 8 4 r R R GM dt dr Kita kenalkan sebuah variabel baru x = rR atau r = xR sehingga drdt = Rdxdt. Persamaan di atas menjadi          1 8 4 x R GM dt Rdx atau          1 8 4 3 x R GM dt dx Untuk menyelesaikan, lakukan proses numerik. Dimulai dengan mennganti x dengan x i dan dxdt dengan x i+1 -x i t. Dengan demikian kita dapatkan Bab 8 Gravitasi 624             1 8 4 3 1 i i i x R GM t x x atau            1 8 4 3 1 i i i x R GM t x x Syarat batas adalah x = 8 dan nilai akhir untuk x adalah 1. 6 Atom hirdogen terdiri dari inti yang bermuatan posiotif dan satu elektron yang bermuatan negatif. Elektron mengelilingi inti pada orbit lingkaran dengan jari-jari 0,53 angstrom. Massa inti atom hidrogen adalah 1,67  10 -27 kg sedangkan massa elektron adalah 9,1  10 -31 kg. Berapakah gaya gravitasi antara elektron dan inti pada atom hidrogen? 7 Energi grvaitasi diri self gravitation adalah total energi potensial gravtiasi yang dimiliki benda akibat gaya tarik antara massa penyusunnya. Jika sebuah benda memiliki massa M dan dimensi R mbuktikan bahwa energi gravitasi diri memenuhi R GM E 2    dengan  adalah parameter yang nilainya sekitar satu. Petunjuk: mulai dengan energi potensial gravitasi mensa M 2 terhadap benda M 1 yang memiliki jarak r sebagai –GM 1 M 2 r. Benda yang kita bahas dibelah dua sehingga masing-masing memiliki massa M2. Kedua massa tersebut dapat dipandang seolah-olah sebagai dua benda yang dipisahkan oleh jarak R2 jarak R2 adalah aprokasimasi jarak pusaat massa dua belahan benda. Kemudian gunakan persamaan energi potensial gravitasi dua benda. 8 Tentukan percepatan gravitasi yang dihasilkan oleh sebuah cincin yang memiliki jari-jari R dan massa per satuan panjang  pada sumbu cincin yang memiliki jarak y dari pusat cincin Gambar 8.31. Bab 8 Gravitasi 625 R y Gambar 8.31 Gambar untuk soal 8 Petunjuk: Cari percepatan gravitasi oleh elemen kecil cincin sepanjang ds. Percepatan tersebut memiliki komponen arah sejajar sumbu dan tegak lurus sumbu. Komponen yang tegak lurus sumbu saling ditiadakan oleh elemen yeng memiliki posisi diametris. Jadi, yang memberikan kontribusi hanya elemen yang sejajar sumbu. Integral elemen yang sejajar sumbu pada semua bagian cincin. 9 Berdasarkan hasil di atas, tentukan percepatan gravitasi yang dihasilkan cakram tipis yang berjari-jari R pada sumbu cakram dan jarak y dari pusat cakram. Massa cakram per satuan luas adalah  Gambar 8.32. Petunjuk: Cakram dapat dipandang sebagai susunak cincing konsnetris yang memiliki jari-jari dari 0 dampai R. Cari percepatan gravitasi arah sejajar sumbu yang dihasilkan oleh cincin yang memiliki jari-jari r dan ketebalan dr. Lalu lakukan integral dari r = 0 sampai r = R. 10 Tentukan percepatan gravitasi yang dihasilkan sebuah cakram tebal yang memiliki ramat massa konstan  sepanjang sumbu cakram yang berjarak y dari permukaan. Ketebalan cakram adalah h dan jari-jarinya adalah R gambar 8.33. Petunjuk. Cakram tebal dapat dipandang sebagai susunan cakram tipis. Ketebalan tiap cakram tipis adalah dz. Pertama hitung percepatan gravitasi yang dihasilkan oleh satu cakram tipis yang memiliki jarak z dari posisi pengamatan. Lalu lakukan integrap pada semua cakram tipis yang ada. Bab 8 Gravitasi 626 r y dr Gambar 8.32 Gambar untuk soal 9 y dz z h z = y z = y + h Gambar 8.33 Gambar untuk soal 10 11 Misalkan massa jenis rata-rata bumi adalah  . Andaikan di bawah permukaan tanah terdapat deposit barang tambang dengan massa jenis  =  +   yang tersebar dalam bentuk menyerupai cakram dengan jari-jari R, Bab 8 Gravitasi 627 tebelan h dan jarak bagian atas ke permukaan bumi adalah y. Tentukan perubahan percepatan gravitasi di permukaan bumi dengan adanya deposit tersebut tergadap percepatan gravitasi kalau dianggap massa jenis bumi kontan. Lakukan analisis jika masa jenis deposit lebih kecil dan lebih besar daripada massa jenis rata-rata bumi. Bab 8 Gravitasi 628 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 629

Bab 9 BENDA TEGAR dan

ELASTISITAS H ingga saat ini kita sudah membahas kinematika maupun dinamika benda yang berbentuk partikel atau titik. Walaupun benda yang kita bahas bukan partikel atau titik seperti balok, kendaraan, dan lain-lain, namun saat pembahasan kita memerlakukan benda-benda tersebut seolah-olah sebagai titik. Bahkan ketika menjelaskan gerak planet mengitari matahari, planet dan matahari pun diperlakukan sebagai titik. Tujuannya adalah untuk memudahkan pencarian solusi karena kita tidak perlu memperhitungkan kemungkinan terguling, berputar, dan sebagainya. Namun, tidak semua benda yang ada di alam berupa partikel. Sebenarnya kita lebih sering mengamati gerak benda yang bukan partikel seperti gerak kendaraan, batu yang dilempar, orang yang melakukan sirkus, dan lain-lain. Untuk gerakan benda besar ini kita amati adanya gerak perputaran rotasi di samping adanya gerak translasi. Jadi, secara umum, gerakan benda besar merupakan kombinasi gerak translasi dan gerak rotasi. Bagaimana merumuskan gerak benda semacam itu? Pada bab ini kita akan memelajari kinematika maupun dinamika benda bukan partikel atau titik. Ciri utama benda tegar adalah bentuk benda tidak berubah meskipun benda tersebut dikanai gaya, seperti gaya tekan, gaya gesek, dan sebagainya. Benda tegar adalah benda yang ikatan Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 630 antar atomnya sangat kuat sehingga tidak terjadi gerekan relatif antar atom. Yang dapat terjadi adalah gerak bersama dengan mempertahankan jarak antar atom. Hampir semua benda padat termasuk ke dalam benda tegar, kecuali yang berwujud plastisin.

9.1 Momen Inersia

Salah satu besaran yang penting yang dimiliki benda tegar adalah momen inersia. Untuk memahami momen inersia, mari kita tinjau sebuah benda sederhana, yaitu sebuah benda titik bermassa m yang ditempatkan di ujung sebuah tongkat Ganbar 9.1. Massa tongkat dianggap nol. Panjang tongkat adalah r. Salah satu ujung tongkat dikaitkan dengan poros sehingga benda m dapat berputar dengan bebas terhadap poros tersebut.  m r Sumbu Gambar 9.1 Benda titik bermassa m ditempatkan di ujung batang tak bermassa. Salah satu ujung tongkat menjadi sumbu putar. Benda titik tersebut dapat berputar secara bebas terhadap poros. Jika benda berotasi terhadap sumbu dengan kecepatan sudut  maka: Kecepatan translasi benda adalah r v   9.1 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 631 Energi kinetik benda adalah 2 2 2 1 2 1 r m mv K    2 2 2 1  mr  9.2 Mari kita bandingkan ungkapan energi kinetik gerak rotasi pada persamaan 9.2 dengan energi kinetik gerak translasi murni:  Energi kinetik untuk gerak translasi murni: 2 2 1 mv K   Energi kinetik untuk gerak rotasi: 2 2 2 1  mr K  Tampak dari dua persamaan di atas bahwa pada gerak rotasi besaran mr 2 memiliki fungsi yang sangat mirip dengan m pada gerak translasi. Pada gerak translasi, m disebut massa atau inersia. Karena kemiripan fungsi tersebut maka pada gerak rotasi, kita definisikan mr 2 sebagai momen inersia. Jadi, untuk benda titik yang berotasi terhadap sumbu yang berjarak r dari sumbu rotasi, momen inersianya memenuhi 2 mr I  9.3 Mari kita cermati persamaan 9.3. Ketika menentukan momen inersia, kita harus memperhatikan posisi sumbu. Momen inersia sangat bergantung pada jarak benda dari sumbu. Benda yang sama memiliki momen inersia yang berbeda jika jarak sumbunya berbeda. Benda dalam Gambar 9.2 mirip dengan pada Gambar 9.1. Hanya saja, pada Gambar 9.2 batang sedikit dilbelokkan sehingga membentuk sudut kurang dari 90 o terhadap sumbu. Jarak benda ke sumbu menjadi lebih pendek sehingga momen inersianya lebih kecil daripada bentuk seperti pada Gambar 9.1 Pebalet dalam posisi lurus tegak memiliki momen inersia kecil. Seluruh bagian tubuh berada lebih dekat ke sumbu badan. Ketika merentangkan kaki dan tangan, momen inersia pebalet besar karena