Pusat Massa Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016

Bab 6 Momentum 467 benda awal. Jika sejumlah gaya luar bekerja pada sistem benda, maka pusat massa benda akan bergerak mengikuti kaidah seolah-olah resultan gaya tersebut hanya bekerja pada pusat massa titik di pusat massa. Pada bagian ini kita akan membahas sedikit pusat massa benda diskrit dan membahas cukup banyak pusat massa benda kontinu. Pusat Massa Benda Diskrit Dalam membahas gerakan sejumlah benda, kadang kita tertolong jika menggunakan konsep pusat massa. Misalkan kita memiliki beberapa partikel dengan massa m 1 , m 2 , ... m n Gambar 6.17. Partikel-partikel tersebut berada pada posisi 1 r  , 2 r  , ... n r  . Pusat massa system tiga partikel tersebut didefinisikan sebagai n n n pm m m m r m r m r m r        ... ... 2 1 2 2 1 1     6.38 m 1 m 2 m n 1 r  2 r  n r  Gambar 6.17 Benda tidak berada pada satu garis lurus. Bab 6 Momentum 468 Apa sebenarnya pusat massa tersebut? Apabila semua benda yang menyusun system bisa direduksi menjadi titik massa di mana massa titik sama dengan jumlah massa benda penyusun maka titik massa tersebut harus diletakkan di koordinat pusat massa agar gerakannya memenuhi hukum Newton seperti system benda awal. Jika sejumlah gaya luar bekerja pada sistem benda, maka pusat massa benda akan bergerak mengikuti kaidah seolah-olah resultan gaya tersebut hanya bekerja pada pusat massa titik di pusat massa. Contoh 6.6 Tiga buah benda yang bermassa 1,5 kg, 4,5 kg, dan 10,0 kg masing-masing berada pada posisi j i r ˆ 3 ˆ 2 1    m, j r ˆ 10 2    m, dan j i r ˆ 5 ˆ 4 3     m. Tentukan posisi pusat massa benda. Jawab Kita dapat langsung menggunakan rumus 6.38 3 2 1 3 3 2 2 1 1 m m m r m r m r m r pm          , 10 5 , 4 5 , 1 ˆ 5 ˆ 4 , 10 ˆ 10 5 , 4 ˆ 3 ˆ 2 5 , 1             j i j j i = , 10 5 , 4 5 , 1 ˆ 5 ˆ 4 , 10 ˆ 10 5 , 4 ˆ 3 ˆ 2 5 , 1            j i j j i j i j i ˆ 6 , ˆ 3 , 2 16 ˆ 5 , 9 ˆ 37       m Bab 6 Momentum 469 Pusat Massa benda Kontinu Benda-benda kontinu yang memiliki bentuk terature dan rapat massa yang tersebar secara merata memiliki lokasi pusat massa yang dapat ditentukan dengan mudah. Bola homogem miliki pusat massa di pusat bola, tongkat homogen memiliki pusat massa di tengah-tengah tongkat, kubus homogen memiliki pusat massa di pusat kubus. Untuk benda yang bentuknya tidak teratur, lokasi pusat massa tidak dapat ditebak langsung. Tetapi kita dapat menentukan pusat massa dengan percobaan sederhana. Salah satu cara tampak pada Gambar 6.18. Lokasi Pusat massa Gambar 6.18 Menentukan lokasi pusat massa benda yang bentuknya tidak teratur. Ikat satu titik permukaan benda dengan tali dan gantungkan secara bebas. Bikin garis vertikal sejajar tali melalui benda. Kemudian ikat titik yang lain pada benda tersebut dengan tali dan gantungkan secara bebas. Bikin garis lain yang sejajar tali melalui benda. Perpotongan dua garis yang dibuat merupakan lokasi pusat massa benda. Bab 6 Momentum 470 Umtuk benda yang bentuknya teratur dan fungsi kerapatan massa diketahui maka lokasi pusat massa dapat ditentukan dengan metode integral. Metode perhitungan tidak akan diberikan di sini karena perlu pengetahuan matematika tingkat tinggi. Pusat Massa Sistem Benda Besar Jika kita memiliki sejumlah benda besar, bagaimana menentukan pusat massa system benda tersebut? Kita tetap bisa menggunakan persamaan 6.38. Contohnya, pada Gambar 6.19 kita memiliki roda dan bola. Lokasi pusat massa masing-masing benda diketahui. Setelah digambarkan koordinat, lokasi pusat massa masing-masing x 1 ,y 1 ,z 1 dan x 2 ,y 2 ,z 1 . Jika massa roda m 1 dan massa bola m 2 maka lokasi pusat massa sistem dua benda tersebut adalah m 1 m 2 1 r  2 r  Gambar 6.19 Menentukan pusat massa sistem benda besar. 2 1 2 2 1 1 m m r m r m r pm      6.39 Bab 6 Momentum 471 Pusat massa benda yang mengandung lubang dapat pula ditentukan dengan rumus serupa. Lubang dapat dianggap sebagai benda yang memiliki massa negatif. Contoh pada Gambar 6.20 terdapat sebuah cakram homogen dengan jari-jari R 1 massa awal m 1 massa sebebelum adanya lubang. Pada cakram tersebut kemudian dibuat lubang dengan jari-jari R 2 . Misalkan massa yang dibuang saat membuat lubang adalah m 2 . Pusat massa cakram berlubang dihitung dengan menentukan pusat cakram asal tanpa lubang dan pusat lubang. Dalam perhitungan, massa lubang diberi nilai negative. Rumus yang digunakan adalah 2 1 2 2 1 1 m m r m r m r pm      6.40 m 1 - m 2 1 r  2 r  Gambar 6.20 Menentukan pusat massa benda berlubang .

6.8 Menentukan Pusat Massa dengan Metode Integral

Pencarian pusat massa menjadi lebih sulit untuk benda pejal yang tidak dapat diukur secara langsung seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.21. Misalkan kita hanya mengetahui massa jenis benda sebagai Bab 6 Momentum 472 fungsi posisi dan kita ingin mengetahui pusat massa benda tersebut. Bagaimana cara menentukannya? Salah satu yang umum digunakan adalah metode ingegral. Caranya sebagai berikut. m 1 m 2 m i i r  Gambar 6.21 Menentukan lokasi pusat massa benda kontinu yang besar. Kita bagi benda besar atas elemen-elemen massa yang sangat kecil. Elemen ke-i memiliki massa m i dan berada pada posisi i r  . Jumlah elemen massa adalah N dan menuju tak berhingga karena ukuran masing-masing elemen menuju nol. Dengan pembagian ini maka lokasi pusat massa memenuhi persamaan 6.38 yang dapat ditulis ulang menjadi N i N N i i pm m m m m r m r m r m r m r                    ... ... ... ... 2 1 2 2 1 1     