Menentukan Posisi dari Kecepatan
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
132
t t
r r
o o
dt v
r d
Integral di ruas kiri dapat segera diselesaikan dan memberikan
o
r r
. Integral di
ruas kanan baru dapat diselesaikan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dari fungsi
v
. Dengan mengganti ruas kiri persamaan 2.37 dengan
o
r r
kita
peroleh
t t
o
o
dt v
r r
atau
t t
o
o
dt v
r r
2.38
Persamaan 2.38 merupakan bentuk yang umum yang berlaku untuk
kecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk kecepatan yang konstan,
o
v
, maka kecepatan pada integral persamaan 1.20 dapat dikeluarkan dari integral dan kita peroleh
t t
o o
o
dt v
r r
o o
o
t t
v r
2.39
Kasus khusus lainnya adalah untuk gerak dengan percepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka kecepatan pada integral persamaan 2.38 diganti dengan
kecepatan pada persamaan 2.35 sehingga diperoleh
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
133
t t
o o
o
o
dt t
t a
v r
r
t t
o t
t o
o
o o
dt t
t a
dt v
r
t t
o t
t o
o
o o
dt t
t a
dt v
r
2
2 1
o o
o o
t t
a t
t v
r
2.40
Contoh 2.17 percepatan konstan
Sebuah benda jatu memiliki percepatan j
a ˆ
10
ms
2
. Pada waktu nol detik, kecepatan benda adalah
iˆ 5
ms dan posisinya jˆ
50 m. Tentukan: a kecepatan benda pada sembarang waktu b Posisi benda pada sembarang waktu.
Jawab Dari soal kita dapat informasi t
o
= 0, j
a ˆ
10
ms2,
i v
o
ˆ 5
ms, dan
j r
o
ˆ 50
m. a Karena percepatan benda konstan maka kecepatan benda pada sembarang
waktu tentukan dari persamaan 2.35, yaitu
o o
t t
a v
v
= ˆ
10 ˆ
5
t j
i =
j t
i ˆ
10 ˆ
5
ms
b Posisi benda tiap saat dihitung dengan persamaan 2.40
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
134
2
2 1
o o
o o
t t
a t
t v
r r
=
2
ˆ 10
2 1
ˆ 5
ˆ 50
t
j t
i j
=
j t
i t
j ˆ
5 ˆ
5 ˆ
50
2
=
j t
i t
ˆ 5
50 ˆ
5
2
m
Contoh 2.18
Pada saat t = 0, benda berada pasa posisi
j i
r
o
ˆ 10
ˆ 20
m. Benda tersebut bergerak dengan kecepatan
j t
i v
ˆ 5
ˆ 10
2 1
ms. Tentukan posisi benda
pada sembarang waktu
Jawab Karena percepatan benda tidak konstan maka kita gunakan bentuk umum yang
diungkapkan oleh persamaan 2.38
t t
o
o
dt v
r r
dt j
t i
j i
t
2 1
ˆ 5
ˆ 10
ˆ 10
ˆ 20
t
j t
i t
j i
2 3
ˆ 3
10 ˆ
10 ˆ
10 ˆ
20
j t
i t
j t
i t
j i
ˆ 3
10 10
ˆ 20
10 ˆ
3 10
ˆ 10
ˆ 10
ˆ 20
2 3
2 3
m
Contoh 2.19
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
135
Saat akan lepas landas, pesawat harus berlari dulu di landasan hingga mencapai kelajuan tertentu. Saat kelajuan inilah pesawat baru boleh lepas
dari tanah Gambar 2.21. Untuk pesawat Airbus A320, kelajuan saat lepas landas sekitar 80 ms. Panjang landasan Hussein Sastranegara,
Bandung adalah 2.250 meter. Berdasarkan peraturan, pesawat hanya menggunakan sekitar 75 panjang landasan untuk tinggal landas
takeoff dan menyisakan sekitar 25 panjang landasan untuk jaga-jaga kalau gagal tinggal landas. Sedangkan pada proses pendaratan pesawat
dapat menggunakan seluruh panjang landasan.
75 25
Tinggal landas
Pendaratan
Gambar 2.21 kiriPesawat Airbus A320 sedang lepas landas di bandara Husein Sastranegara, Bandung. kanan lindaran pesawat saat tinggal landas dan saat pendaratan.
a Agar pesawat Airbus A320 lepas landas dari bandara tersebut, berapa
percepatan minimum pesawat? b
Saat mendarat, kelajuan pesawat ini saat menginjak landasan sekitar 245 kmjam. Berapakah percepatan pengereman agar pesawat
mendarat aman di landasan Hussein Sastranegara?
Jawab a Percepatan minimum pesawat
Karena pesawat bergerak pada landasan yang lurus maka kita dapat sederhanakn menjadi kasus satu dimensi gerak linier. Untuk kasus satu
dimensi persamaan 2.40 dapat ditulis menjadi
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
136
2
2 1
o o
o o
t t
a t
t v
x x
Pesawat memulai gerak di landasan dengan laju nol. Misalkan kita
asumsikan ujung landasan berada pada koordinat x =0 dan pesawat mulai
bergerak pada saat t = 0 maka kita dapat menulis
2
2 1
t a
t x
atau
2
2 1
at x
Laju pesawat memenuhi
at at
v v
atau
a v
t
Dengan demikian, jarak tempuh pesawat adalah
a v
x
2
2 1
Pesawat akan meninggalkan landasan jika jarak tempuh hingga takeoff tidak lebih dari 75 panjang landasan, atau
x 0,75 2.250 = 1.687,5 m atau
5 ,
687 .
1 2
1
2
a
v
atau
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
137
9 ,
1 375
. 3
80 5
, 687
. 1
2
2 2
v a
ms2 Jadi, percepatan pesawat harus lebih besar daripada 1,9 ms
2
. Dengan demikian, percepatan minimum yang diperlukan adalah a
min
= 1,9 ms
2
. c
Percepatan pengereman Kecepatan pesawat saat mendarat adalah 245 kmjam = 68 ms. Dengan
cara perhitungan yang sama dan mengingat bahwa saat pendaratan pesawat dapat menggunakan seluruh panjang landasan maka percepatan
pengereman harus memenuhi
03 ,
1 500
. 4
68 250
. 2
2
2 2
v a
ms
2
.
Dengan demikian, percepatan pengereman minimum yang diperlukan adalah a
min
= 1,03 ms
2
.
Kecepatan Rata-Rata
Dari persamaan 2.39 kita dapat menentukan kecepatan rata-rata sebagai berikut. Mengingat
r r
r
maka persamaan 2.39 dapat ditulis menjadi
t t
dt v
r
Perubahan posisi terjadi selama selang waktu
t t
t
. Dengan menggunakan definisi kecepatan rata-rata maka kita peroleh
t r
v
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
138
t t
dt v
t t
2.41
Tampak dari persamaan di atas bahwa jika kita mengetahui kecepatan benda maka kecepatan rata-rata tidak dihitung dengan cara menjumlahkan
kecepatan-kecepatan yang ada lalu dibagi dengan jumlah suku yang dijumlahkan. Tetapi dari kecepatan yang ada kita hitung perubahan posisi
pada dua waktu kemudian membagi perubahan posisi tersebut dengan selisih dua waktu.
Contoh 2.20
Kecepatan gerak sebuah peluru yang ditembakkan dengan laju awal 400 ms dan membentuk sudut 60
o
terhadap horisontal memenuhi
t j
i t
v 10
3 200
ˆ ˆ
200
ms. Tentukan kecepatan rata-rata dari t = 0 s
sampai t = 5 s. Tentukan juga waktu ketika peluru sampai kembali ke tanah pada posisi yang horisontal dengan posisi tembakan
Jawab Yang harus kita lakukan pertama kali adalah mencari perubahan posisi
pada dua waktu tersebut. Perubahan posisi adalah
2 1
t t
dt v
r
5
10 3
200 ˆ
ˆ 200
dt t
j i
Untuk menyelesaikan integral di atas kita gunakan Tabel 2.4 dan diperoleh
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
139
5 2
2 10
3 200
ˆ ˆ
200
t
t j
i t
r
2 2
2 10
3 200
ˆ ˆ
200 5
2 10
5 3
200 ˆ
ˆ 5
200 i
j i
i j
i
j i
ˆ 125
3 1000
ˆ 1000
m
Selang waktu perubahan posisi adalah t = 5 s. Dengan demikian, kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut adalah
t r
v
j i
j i
ˆ 25
3 200
ˆ 200
5 ˆ
125 3
1000 ˆ
1000
ms
Untuk menentukan waktu sampai peluru kembali ke tanah, kita mulai dengan menentukan perubahan posisi dari t = 0 sampai dengan t
sembarang. Persamaanya adalah
t
dt v
r
t
dt t
j i
10 3
200 ˆ
ˆ 200
2
5 3
200 ˆ
ˆ 200
t t
j i
t
Peluru kembali lagi ke tanah jika perpindahan dalam arah vertikal nol. Perpindahan arah vertikal adalah
Bab 2 Besaran-Besaran Gerak
140
2
5 3
200 t
t y
Perpindahan arah vertikal nol jika y = 0 atau
5 3
200
2
t
t
Yang memberikan
3 40
5 3
200
t
s