Percepatan Gravitasi Benda yang Memiliki Kerapatan tidak Uniform

Bab 8 Gravitasi 585 dengan Mr adalah massa bola di dalam bumi yang memiliki jari-jari r dari pusat bumi. Perhatikan kulit bumi yang berjarak r dari pusat bumi dan memiliki ketebalan dr. Luas kulit tersebut adalah 4r 2 dan volumenya adalah dV = 4r 2 dr. Dengan demikian massa kulit tersebut adalah dV r dM   dr r r 2 4   8.51 Dari hubungan ini kita dapatkan 2 4 r r dr dM   8.52 Jika dua sisi persamaan 8.50 didiferensial terhadap jari-jari maka diperoleh       2 2 1 1 r dr d M dr dM r G dr dg        3 2 2 2 4 1 r M r r r G        3 2 4 r M r G  8.53 Bab 8 Gravitasi 586 Kita definsikan massa jenis rata-rata bola di dalam bumi yang memiliki jari-jari r menurut hubungan berikut ini 3 4 3 r r r M          8.54 Dengan definisi ini maka 3 4 3 r r r M    8.55 Substitusi persamaan 8.55 ke dalam persamaan 8.53 sehingga diperoleh turunan percepatan gravitasi terhadap jari-jari menjadi       3 8 4 r r G dr dg          3 2 4 r r G    8.56 Dari persamaan 8.56 tampak bahwa turunan g terhadap r positif jika 3 2 r r    . Dengan demikian, jika satu lapisan kulit ditambahkan pada bola yang sudah ada maka percepatan gravitasi di permukaan lapisan yang ditambahkan lebih besar dari percepatan gravitasi di permukaan bola awal jika massa jenis kulit yang ditambahkan lebih besar daripada 23 massa jenis rata-rata bola semula. Dari data yang ada kita memiliki massa jenis rata-rata bumi adalah 5.600 kgm 3 . Massa jenis crust lapisan permukaan bumi sekitar 3.000 kgm 3 . Karena 3.000 23 5.600 maka ketika kita baik pada lapisan crust bumi, justru dgdr Bab 8 Gravitasi 587 negatif. Ini artinya percepatan gravitasi bumi di permukaan atas crust lapisan kulit bumi lebih kecil daripada percepatan gravitasi di sisi bawahnya. Dari sini kita simpulkan bahwa percepatan gravitasi di mulut tambang lebih kecil daripada di dasar tambang.

8.15 Efek

Pengurangan Konstanta Gravitasi Universal Para ahli kosmologi meramalkan bahwa konstanta gravitasi universal G ternyata tidak konstan. Nilai G bergantung pada waktu, yaitu makin mengecil dengan bertambahnya waktu, walaupun pengurangan tersebut sangat lama dan baru memiliki efek setelah puluhan miliar tahun. Karena gerak planet-planet mengelilingi matahari ditentukan oleh nilai konstanta gravitasi universal maka menjadi menarik untuk menyelidiki efek pengurangan tersebut terhadap periode edar planet dalam puluhan milir tahun yang akan datang. Menurut teori yang ada, laju pengurangan konstanta gravitasi universal memenuhi persamaan G dt dG    8.57 dengan  adalah konstanta yang nilainya disetimasi 3  10 -11 tahun [R.H. Dicke, The Theoretical Significance of Experimental Relativity, NY: Gordon and Breach 1964]. Kita kembali lihat hukum III Kepler yang dapat ditulis sebagai M T r G 2 3 2 4   8.58 Dengan berubahnya konstanta gravitasi maka periode maupun jari-jari orbit planet akan berubah. Jika dua sisi persamaan 8.58 didiferensial terhadap waktu maka diperoleh Bab 8 Gravitasi 588         2 3 3 2 2 1 1 4 T dt d r r dt d T M dt dG          dt dT T r dt dr T r M 3 3 2 2 2 2 3 4  Dengan demikian M T r dt dT T r dt dr T r M G dt dG 2 3 2 3 3 2 2 2 4 2 3 4           dt dr r dt dT T 3 2    8.59 Momentum sudut planet yang mengitari matahari selalu konstant gerakan di bawah pengaruh gaya sentral memiliki momentum sudut yang konstan. Momentum sudut memenuhi 2 r m L   2 2 r T m   8.60 Diferensial dua sisi persamaan 8.60 terhadap waktu sehingga diperoleh          dt dr T r dt dT T r m dt dL 2 2 2 2 