Gerak Peluru Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
163
the-tap.blogspot.com
ut e
xa s.
e du
e2marino.wordpress.com
Gambar 3.2 Contoh gerak peluru: a peluru kendali yang ditembakkan the-tap.blogspot.com, b bola golf yang dipukul e2marino.wordpress.com, dan c roket yang diluncurkan utexas.edu.
a Gerak peluru kendali yang ditembakkan umumnya berbentuk
gerak peluru. Dengan memahami hukum-hukum gerak peluru maka sudut penembakan dapat diatur sehingga peluru mengenai
sasaran.
b Peluncuran roket yang membawa satelit menempuh lintasan seperti
lintasan peluru. Dengan demikian arah peluncuran dapat ditentukan sehingga roket mencapai posisi yang diinginkan untuk
menempatkan satelit pada orbitnya.
c Pemain golf dapat mengatur kekuatan pukulan serta sudut
pukulan sehingga bola jatuh tepat atau dekat lubang yang dikehendaki.
d Pemain basket dapat mengatur kekuatan lemparan maupun sudut
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
164
lemparan sehingga bola tepat masuk ke keranjang dan menciptakan nilai.
e Pemain bola dapat mengatur kekuatan serta sudut tendangan
sehingga bola tepat masuk ke gawang lawan.Atlit lempar cakram, lempar lembing, maupun tolak peluru dapat mengatur sudut
lontaran sehingga dicapai jarak terjauh. Meraka selalu berlatih agar setiap lemparan selalu memenuhi sudut tersebut.
Sekarang kita mulai membahas gerak peluru secara detail. Peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal membentuk sudut elevasi
tertentu terhadap sumbu datar akan mengambil lintasan seperti pada Gambar 3.3. Pada saat ditembakkan, peluru memiliki dua komponen
kecepatan. Komponen kecepatan arah horisontal dan arah vertikal adalah
cos v
v
x
3.1a
sin
v v
y
3.1b
v
Lokasi penembakan
Lokasi jatuh
Puncak lintasan
Y
X
Gambar 3.3 Bentuk umum lintasan peluru yang ditembakkan dengan sudut elevasi
terhadap sumbu datar. Ketinggian lintasan maupun jarak tempuh jarak dalam arah horisontal sangat bergantung pada laju awal dan
sudut tembakan.
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
165
Lintasan gerak peluru selalu melengkung ke bawah akibat adanya percepatan gravitasi bumi. Salah satu yang khas dari gerak peluru adalah
komponen kecepatan arah horizontal selalu tetap selama peluru bergerak. Tetapi komponen kecepatan arah vertikal selalu berubah-ubah Gambar
3.4. Mula-mula makin kecil dan saat di puncak lintasan, komponen kecepatan arah vertical nol. Kemudian komponen kecepatan membesar
kembali namun arahnya berlawanan arah ke bawah.
v
v
0x
v
0y
v
1
v
2
v
2x
v
2y
X Y
v
1x
v
1y
= 0
Gambar 3.4 Komponen horisontal kecepatan peluru selalu constan tetapi komponen vertikal selalu berubah-ubah. Perubahan komponen vertikal disebabkan oleh adanya percepatan gravitasi bumi. Komponen
kecepatan arah horisontal tidak berubah karena tidak ada percepatan dalam arah horisontal.
Perbedaan sifat gerakan tersebut karena dalam arah vertikal ada percepatan gravitasi yang berarah ke bawah sedangkan dalam arah
horizontal tidak ada percepatan Gambar 3.5. Jika kita ambil arah ke kanan sejajar dengan sumbu x positif dan arah ke atas sejajar dengan
sumbu y positif maka komponen kecepatan gerak peluru dalam arah sumbu x horisontal dan sumbu y vertikal adalah
cos
v v
x
3.2a
gt v
v
y
sin
3.2b
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
166
Dengan demikian, vektor kecepatan gerak peluru tiap saat adalah
y x
v j
v i
v ˆ
ˆ
gt v
j v
i
sin ˆ
cos ˆ
3.3
Posisi peluru tiap saat memenuhi persamaan
t
dt v
r t
r
t
dt gt
v j
v i
r sin
ˆ cos
ˆ
2
2 1
sin ˆ
cos ˆ
gt t
v j
t v
i r
3.4
dengan r
adalah posisi peluru pada saat t = 0.
Dari persamaan komponen kecepatan maka kita dapat menentukan sudut yang dibentuk oleh vektor kecepatan terhadap arah
horisontal. Misalkan sudut tersebut adalah Ganbar 3.6 maka
x y
v v
tan
cos sin
v gt
v
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
167
cos tan
v gt
3.5
Y
X a
y
= -g a
x
= 0 v
v
0x
= v cos
v
0y
= v sin
Gambar 3.5 Peluru mendapat percepatan ke bawah gravitasi dan tidak mendapat percepatan arah horizontal. Gerak peluru dapat juga dipandang sebagai dua gerak terpisah, yaitu gerak dengan percepatan
konstan arah veritak dan gerak dengan laju konstan arah horisontal.
v
x
v
y
Gambar 3.6 Vektor kecepatan peluru tiap saat. Arah kecepatan selalu berubah tiap saat karena besar komponen vertikal selalu berubah karena adanya percepatan gravitasi bumi sedangkan besar komponen
horisontal selalu tetap karena tidak memiliki percepatan.
Dari persamaan 3.5 kita dapatkan sejumlah informasi. Pada puncak lintasan peluru hanya memiliki kecepatan arah horisontal.
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
168
Dengan demikian pada puncak lintasan berlalu = 0 atau tan = 0.
Misalkan waktu yang diperlukan sejak peluru ditembakkan hingga mencapai puncak lintasan adalah t
m
maka berlaku
cos tan
v gt
m
yang menghasilkan
tan
cos g
v t
m
sin
g v
3.6
=
v
0x
v
0y
= -
Saat menembak Saat kembali ke tanah
Gambar 3.7 Arah vektor kecepatan saat peluru ditembakkan dan saat kembali ke tanah. Sudut yang dibentuk vektor kecepatan saat peluru ditembakkan dan saat peluru mencapai tanah sama besar tetapi berlawanan
tanda.
Kapan peluru mencapai tanah kembali? Kita asumsikan bahwa ketinggian tempat penembakan sama dengan ketinggian tempat jatuh
peluru. Pada saat penembakan, t = 0, terpenuhi
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
169
cos tan
tan v
g
atau = .
Dengan memperhatikan Gambar 3.7 jelas bahwa pada saat peluru kembali menyentuh tanah maka sudut yang dibentuk oleh vektor
kecepatan memenuhi = -. Jika saat ini waktu tempuh adalah T maka
persamaan 3.5 dapat ditulis
cos tan
tan v
gT
cos tan
tan v
gT
atau
tan
cos 2
g v
T
sin
2 g
v
3.7
Dari persamaan ini tampak bahwa T = 2t
m
atau waktu yang diperlukan untuk mencapai tanah kembali sama dengan dua kali waktu untuk
mencapai puncak lintsan. Gambar 3.8 memperlihatkan posisi maksimum yang dicapai
peluru dan jangkauan peluru. Berapakan nilai-nilai tersebut? Mari kita coba hitung. Dengan menggunakan persamaan 3.4 kita dapat
menentukan posisi peluru pada saat t
m
, yaitu
2
2 1
sin ˆ
cos ˆ
m m
m m
gt t
v j
t v
i r
t r
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
170
Substitusi t
m
dari persamaan 3.6 sehingga diperoleh
2
sin 2
1 sin
sin ˆ
cos sin
ˆ
g v
g g
v v
j g
v v
i r
t r
m
2 2
2
sin 2
ˆ cos
sin ˆ
g v
j g
v i
r
3.8
v
v
0x
= v cos
v
1
X Y
v
1x
= v cos
v
1y
= 0 v
0y
= v sin
h
m
R
Gambar 3.8 Ketinggian lintasan sama dengan jarak vertical dari puncak lintasan ke dasar yang sejajar dengan titik penembakan. Jarak tempuh adalah jarak mendatar dari titik penembakan ke titik jatuh peluru.
Dari persamaan 3.8 kita simpulkan bahwa ketinggian maksimum yang dicapai peluru adalah
2 2
sin 2g
v y
m
3.9
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
171
Jarak dalam arah x tepat di bawah puncak lintasan adalah
cos sin
2
g v
x
m
2
sin 2
2
g v
3.10
di mana
kita telah
menggunakan hubungan
trigonomentri
cos sin
2 2
sin
. Dengan menggunakan T pada persamaan 3.7 maka posisi peluru
saat kembali mencapai tanah adalah
2
2 1
sin ˆ
cos ˆ
gT T
v j
T v
i r
T r
2
sin 2
2 1
sin sin
2 ˆ
cos sin
2 ˆ
g v
g g
v v
j g
v v
i r
g v
i r
cos sin
2 ˆ
2
3.11
Kita definisikan jarak tempuh sebagai jarak horizontal dari titik penembakan benda ke titik jatuh peluru di tanah asumsi titik
penembakan dan titik jatuh berada pada bidang datar. Dengan mengacu pada persamaan 3.11 maka jarak tempuh adalah
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
172
g v
R
cos sin
2
2
g v
2
sin
2
3.12
Pertanyaan menarik adalah berapakah sudut penembakan agar dicapai jarak tempuh maksimum? Mengingat nilai maksimum sin 2
= 1 maka jarak tempuh maksimum akan dicapai jika
1 2
sin
. Sudut yang nilai sinusnya satu adalah 90
o
. Dengan demikian sudut penembakan yang menghasilkan jangkauan maksimum memenuhi
o
90 2
atau
o
45
. Dengan sudut ini maka jangkauan maksimum adalah
g v
R
maks 2
3.13
Apa yang dapat disimpulkan dari hasil ini? Kesimpulannya adalah dengan menggunakan peluru yang memiliki laju awal v
maka kita hanya sanggup menembak hingga jarak
g v
2
. Sasaran yang lebih jauh dari itu tidak mungkin dijangkau oleh peluru tersebut berapa pun sudut
tembaknya.
Sasaran dengan Jarak Bervariasi
Dalam peperangan, senjata yang digunakan telah memiliki laju awal tertentu. Namun, sasaran yang akan ditembak kadang jauh dan
kadang dekat. Agar peluru mengenai sasaran maka yang dapat dilakukan adalah mengantur sudut tembak. Berapakah sudut tembak jika sasaran
berada dalam arah horisontal sejauh R? Jelas di sini bahwa
maks
R R
. Mari kita hitung.
Kita sudah mendapatkan persamaan jarak tembak yang diberikan
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
173
oleh persamaan 3.12. Jika jarak tembak R berbeda-beda maka besar sudut tembak memenuhi
2
2 sin
v gR
Solusinya adalah
2
arcsin 2
v gR
atau
2
arcsin 2
1 v
gR
3.14
Sebagai contoh, jika jarak sasaran adalah setengah dari jangkauan maksimum peluru atau
2
maks
R R
maka
2
1 arcsin
2 1
Tetapi arcsin12 memiliki dua solusi, yaitu 30
o
dan 150
o
. Dengan demikian, ada dua sudut yang menghasilkan solusi yaitu
o o
15 2
30
dan
o o
75 2
150
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
174
Dengan sudut penembakan 15
o
atau 75
o
maka peluru akan jatuh pada titik yang sama. Namun ada yang berbeda, yaitu waktu tempuh. Dengan
mengguakan persamaan 3.7 maka peluru yang ditembakkan dengan sudut kecil akan mencapai sasaran dalam waktu yang lebih pendek. Jadi,
jika kita ingin segera mengenai sasaran maka dari dua alternatif sudut tersebut kita memilih sudut yang kecil.
Gambar 3.9 adalah kurva sudut tembak sebagai fungsi jangkauan. Jangkauan dinyatakan dalam satuan jangkauan maksimum. Tampak
bahwa untuk setiap jangkatan yang dikehendaki maka ada dua sudut tempak yang dapat dilakukan, yaitu dengan sudut kecil dan dengan sudut
besar. Penembakan dengan sudut kecil menyebabkan peluru mencapai sasaran lebih cepat. Namun, jika antara posisi penembakan dan sasaran
terdapat penghalang yang cukup tinggi seperti bangunan, pepohonan, atau bukit kecil maka kita memilih sudut tembak yang besar.
Gambar 3.9 Sudut penembakan peluru sebagai fungsi jarak sasaran agar peluru tepat mengenai sasaran. Tampak bahwa selalu ada dua sudut untuk mencapai jarak yang sama, yang satu lebih besar dari 45
o
dan yang satu lebih kecil dari 45
o
. Namun, jarak terjauh hanya dapat dicapai dengan satu sudut, yaitu 45
o
.
Menembak Sasaran yang Bergerak
Misalkan sasaran yang akan kita tembak bergerak. Berapa sudut tembak agar peluru mengenai sasaran yang bergerak tersebut? Mari kita
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
175
bahas. Agar lebih sederhana kita asumsikan bahwa sasaran bergerak dalam arah sumbu x dengan laju v
s
. Misalkan jarak mula-mula sasaran dari lokasi penembakan adalah X
s
. Dengan demikian, posisi sasaran tiap saat memenuhi
t s
s s
dt v
X i
t r
ˆ
3.15
Karena posisi penembakan dianggap berada pada pusat koordinat maka posisi peluru tiap saat kita gunakan
r
memenuhi persamaan
2
2 1
sin ˆ
cos ˆ
gt t
v j
t v
i t
r
p
3.16
Peluru akan mengenai sasaran setelah selang waktu T yang memenuhi
T r
T r
s p
atau
T s
s
dt v
X i
gT T
v j
T v
i
2
ˆ 2
1 sin
ˆ cos
ˆ
3.17
Persamaan 3.17 menghasilkan dua persamaan berikut ini
T s
s
dt v
X T
v cos
3.18a
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
176
2 1
sin
2
gT
T v
3.18b
Dari persamaan 3.18b kita dapatkan
sin
2 g
v T
3.19
Jika sasaran bergerak dengan laju konstant dan menjauhi lokasi penembakan maka persamaan 3.18a menjadi
T v
X T
v
s s
cos atau
s s
v v
X T
cos
3.20
Samakan persamaan 3.19 dan 3.20 maka diperoleh
sin 2
cos g
v v
v X
s s
atau
2
cos sin
2 v
v v
gX
s s
3.21
Jika kita
definisikan untuk
sementara x
sin dan
2 2
1 sin
1 cos
x
maka persamaan 3.21 dapat ditulis
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
177
2 2
1 2
v v
x x
v gX
s s
atau
2
1 2
v v
x x
R X
s maks
s
3.22 di mana R
maks
diberikan oleh persamaan 3.13. Persamaan 3.22 dapat diseselaikan secara numerik jika kita
sudah mengetahu X
s
, v dan v
s
. Gambar 3.10 adalah contoh hasil perhitungan numerik sudut tembak sebagai fungsi
maks s
R X
2
jika sasaran bergerak menjauh dengan laju sepersepuluh laju awal peluru.
Tampak di sini juga bahwa selalu terdapat dua pilihan sudut agar peluru mengenai sasaran.
Gambar 3.10 Sudut tembak agar mengenai sasaran yang bergerak menjauh dengan laju v
s
= 0,1v . Di sini
pun tampak bahwa untuk jarak tertentu maka selalu ada dua sudut tembakan yang memenuhi syarat.
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
178
Jika sasaran mendekati arah penembakan maka persamaan yang dipenuhi adalah dengan mengganti tanda vs dan diperoleh
2 2
1 2
v v
x x
v gX
s s
3.23
Persamaan 3.23 juga mesti diselesaikan secara numerik.
Sasaran Tidak Pada Ketinggian Yang Sama
Bagaimana jika sasaran tidak berada pada ketinggian yang sama dengan tempat peluru ditembakkan? Seperti diilustrasikan pada Gambar
3.11. Kita pilih lokasi penembakan berada di koordinat sedangkan sasaran berada pada posisi
j Y
i X
r
s
ˆ ˆ
3.24
Peluru mengenai sasaran setelah selang waktu t
s
yang memenuhi
j Y
i X
gt t
v j
t v
i
s s
s
ˆ ˆ
2 1
sin ˆ
cos ˆ
2
3.25
Jadi peluru mengenai sasaran saat vektor posisi peluru sama dengan vektor posisi sasaran. Kita samakan suku yang mengandung verktor
satuan sejenis sehingga diperoleh
X t
v
s
cos 3.26a
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
179
Y gt
t v
s s
2
2 1
sin
3.26b
malvern-hills.co.uk
Y X
R
Gambar 3.11 Peluru menembak sasaran yang memiliki ketinggian yang berbeda dengan lokasi penembakan sumber gambar: malvern-hills.co.uk.
Dari persamaan 3.26a kita peroleh waktu yang diperlukan peluru mengenai sasaran adalah
cos v
X t
s
3.27
Substitusi persamaan 3.27 ke dalam persamaan 3.26b maka diperoleh
Y v
X g
v X
v
o o
2
cos 2
1 sin
cos
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
180
Y v
gX X
2 2
2
cos 2
1 cos
sin
2 2
2
cos 2
cos sin
Y v
gX X
3.28
Untuk menyederhanakan persamaan 3.28 kita gunakan hubungan trigonometri berikut ini
2 sin
2 1
cos sin
2 cos
2 1
2 1
cos
2
2 sin
1 2
1 2
1
2
Dengan demikian persamaan 3.28 dapat ditulis menjadi
2 sin
1 2
1 2
1 2
2 2
sin
2 2
2
Y v
gX X
2 sin
1 1
2 sin
2 2
2
Y v
gX X
3.29
Agar lebih sederhana lagi kita misalkan z
2 sin
sehingga persamaan 3.29 menjadi
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
181
2 2
2
1 z Y
Y v
gX Xz
Kita kuadrat sisi kiri dan kanan sehingga
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
z Y
Y v
gX z
Y v
gX X
z X
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Y
Y v
gX z
Y v
gX X
z Y
X
Solusi untuk z adalah
2 4
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 ,
1
Y X
Y Y
v gX
Y X
Y v
gX X
Y v
gX X
z
3.30
Ada dua solusi yang diberikan oleh persaman di atas. Tetapi mengingat
2 sin
z
maka nilai z hanya boleh berada antara 1 dan -1. Dari dua solusi di atas, jika dua nilai z berada antara -1 sampai 1 maka
kedua solusi benar. Ini berarti ada dua sudut penembakan agar mengenai sasaran. Namun, jika salah satu nilai z tidak berada antara -1 sampai 1
maka hanya solusi antara -1 sampai 1 yang digunakan. Ini artinya, hanya satu kemungkina sudut tembakan yang dapat mengenai sasaran. Setelah
kita peroleh z maka sudut dapat dihitung dengan mudah.
Contoh 3.1
Sasaran yang akan ditembak berada pada posisi
j i
r
s
ˆ 00
ˆ 400
m. Berapa sudut tembak agar peluru yang memiliki laju awal 100 ms
mengenai sasaran?
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
182
Jawab Dengan menggunakan g = 9,8 ms
2
maka kita dapatkan z
1
= 0.000931183 dan z
2
= 31.05174208. Nilai z
2
tidak dipakai karena lebih besar daripada 1. Jadi solusi untuk z hanyalah z
1
= 0.000931183. Dengan demikian sin 2
1
= 0,00093. Solusi yang memenuhi adalah 2
= 177
o
atau = 88,5
o
.
Aplikasi Olah Raga
Lempar cakram, lempar lembing, tolak peluru, dan lompat jauh adalah olah raga yang dinilai berdasarkan jarak tempuh yang dicapai.
Jangkauan maksimum ditentukan oleh laju awal maupun sudut awal. Karena laju awal yang dilakukan seorang atlit sudah tertentu maka yang
dapat dikontrol untuk mencapai jarak terjauh adalah sudut awal. Berapa besar sudut awal agar menjadi juara dalam olah raga tersebut?
sull.tv
= 45
o
v
Gambar 3.12 Atlit lompat jauh akan melakukan lompatan terjauh jika membentuk sudut 45
o
. Para atlit lompat jauh harus berlatih keras agar memiliki feeling yang kuat sehingga sudut lompatannya selalu mendekati 45
o
sumber gambar: sull.tv
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
183
Kebergantungan jarak tempuh pada sudut ditentukan oleh faktor
2 sin
persamaan 3.12. Faktor ini memiliki nilai maksimum satu, yaitu ketika
o
90 2
Gambar 3.12. Maka agar dicapai loncatan atau lemparan terjauh maka para atlit tersebut harus membentuk sudut
= 45
o
.
v
iaaf.org
Gambar 3.13 Pelompat tinggi harus membentuk sudut mendekati 90
o
saat melompat agar diperoleh ketinggian maksimum. Yang harus dilatih oleh pelompat tinggi adalah bagaimana agar melompat dengan
sudut hampir 90
o
tetapi tidak menyentuh penghalang sumber gambar: iaaf.org.
Pemenang olah raga lompat tinggi didasarkan pada ketinggian batang penghalang yang berhasil dilampaui. Ketinggian maksimum
ditentukan oleh laju awal dan sudut yang dibentuk saat melompat. Untuk seorang atlit, laju awal sudah tertentu. Agar tercapai ketinggian tertentu
maka dia harus dapat mengontrol sudut lompatan. Ketinggian lompatan bergantung pada sudut lompatan sesuai dengan fungsi
2
sin persamaan
3.9. Ketinggian makin besar jika sudut makin mendekati 90
o
. Oleh karena itu, atlit lompat tinggi selalu mengambil posisi sedekat mungkin ke
penghalang sebelum meloncat Gambar 3.13. Sehingga, ketika dia melompat, dia membntuk sudut yang mendekati 90
o
.
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
184
Aplikasi dalam Peperangan
Kecepatan keluarnya peluru dari moncong tank atau merian sudah tertentu Gambar 3.14. Dalam suatu peperangan, peluru harus
dijatuhkan ke lokasi musuh. Sebelum penembakan peluru dilakukan maka jarak musuh diestimasi terlebih dahulu. Berdasarkan jarak tersebut
maka sudut penembakan diatur sehingga peluru tepat jatuh ke lokasi musuh. Untuk memperkirakan sudut penembakan, kita dapat
menggunakan persamaan jangkauan maksimum. Jarak tank ke posisi musuh adalah R. Agar peluru tepat jatuh ke posisi musuh maka sudut
penembakan harus memenuhi persamaan 3.14.
v
Gambar 3.14 Tank mengantur sudut penembakan agar peluru tepat jatuh di lokasi musuh. Biasanya dilakukan denan coba-coba. Ketika tembakan pertama terlampau dekat maka sudut moncong tank diatur mendekati 90
o
. Sebaliknya jika tembakan pertama terlalu jauh maka arah moncong meriam diatur sehingga menjauhi 45
o
sumber gambar:
Bom yang dijatuhkan dari pesawat yang sedang bergerak mendatar akan membentuk lintasan setengah parabola. Benda tersebut
memulai gerak di puncak parabola. Kecepatan awal yang dimiliki hanya komponen horizontal yang sama dengan laju pesawat. Gerakan bom
tersebut serupa dengan gerakan bola pada Gambar 3.15.
Posisi awal bom adalah
j h
r ˆ
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
185
v v
0x
= v
v
0y
= 0
v
x
= v v
0y
v v
x
gt
v
y
t v
x
2
2 1
gt h
y
X Y
h
Gambar 3.15 Gerakan bola yang digelindingkan dari tepi meja menempuh lintasan setengah parabola. Kecepatan awal hanya memiliki komponen horisontal. Gerak arah vertikal menjadi gerak dengan percepatan
konstan dan laju awal nol. Gerak arah horisontal adalah gerak dengan laju konstan.
dengan h adalah ketinggian pesawat saat melepas bom. Kecepatan awal bom hanya memiliki komponen arah horisontal, atau
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
186
i v
v
o
ˆ
Percepatan bom adalah percepatan gravitasi atau
j g
a ˆ
Dengan demikian, kecepatan bom tiap saat adalah
j gt
i v
t v
ˆ ˆ
3.31
Posisi bom tiap saat adalah
2
2 1
ˆ ˆ
gt h
j t
v i
t r
3.32
Saat mencapai tanah ketinggian bom adalah 0. Misalkan T adalah waktu yang diperlukan bom untuk mencapai tanah maka terpenuhi
2
2 1
gT h
atau
g h
T 2
3.33
Karena gerak arah horisontal memiliki laju konstan tidak memiliki percepatan maka jarak tempuh benda arah horizontal ketika menyentuh
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
187
tahan adalah
T v
R
3.34
Pesawat pengembom menggunakan persamaan ini untuk menentukan saat yang tepat ketika akan menjatuhkan bom. Ketika
pesawat bergerak, besaran yang dimiliki adalah laju dan ketinggian. Ketika di depan ada lokasi musuh yang harus dibom, kapankah saatnya bom
dilepas?
Dari ketinggian pesawat dapat ditentukan waktu yang diperlukan bom mencapai tanah persamaan 3.33. Berdasarkan waktu ini dan data
laju pesawat maka akan diteketahui berapa jauh bom bergerak secara horizontal saat mencapai tanah persamaan 3.34. Dengan demikian,
pilot dapat menentukan di posisi di belakang sasaran bom tersebut dijatuhkan. Semua informasi ini ada di layar kontrol pesawat dan telah
dihitung oleh komputer yang ada di pesawat. Jadi pilot tidak perlu pelakukan perhitungan.
Lebih sering pesawat pembom tidak hanya menjatuhkan satu bom, tetapi menjatuhkan sejumlah bom Gambar 3.16. Jika pesawat
hanya menjatuhkan satu bom maka bisa terjadi posisi jatuhnya bom meleset dari sasaran yang mungkin disebabkan kesalahan data yang
diolah. Untuk menghindari lolosnya sasaran maka pesawat menjatuhkan bom secara bertubi-tubi. Dengan dijatuhkan bom secara bertubi-tubi
maka bom akan mengenai wilayah di tanah yang cukup panjang sehingga kemungkinan mengenai sasaran menjadi lebih tinggi.
Misalkan bom dijatuhkan selama selang waktu t. Maka panjang daerah di tanah yang dikenai bom menjadi v
t, dengan v adalah laju
pesawat. Misalkan perode pelepasan bom selang waktu dijatuhkan dua bom berurutan adalah
maka jumlah bom yang dijatuhkan selama selang waktu t adalah
t n
3.35
Jarak dua lokasi berdekatan di tanah yang dikenai bom adalah
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
188
v x
3.36
science.howstuffworks.com
v
0x
v
0x
v
0x
v
0x
v
y
v
y
v
y
X Y
Gambar 3.16 Lintasan bom yang dilepas pesawat ke sasaran di tanah sumber gambar : .
Efek Hambatan Udara bagian ini dapat dilewati
Pada pemahasan gerak peluru di atas kita sama sekali mengabaikan gesekan oleh udara pada peluru yang bergerak. Seolah-olah
peluru bergerak dalam ruang hampa. Padahal gesekan oleh udara ada dan nilainya makin besar jika peluru makin kencang. Arah gesekan tersebut
berlawanan dengan arah gerak peluru. Dengan adanya gesekan maka peluru mendapat percepatan dalam arah berlawanan dengan arah gerak.
Dengan demikian, selama bergerak maka peluru mendapat dua percepatan yaitu percepatan gravitasi ke arah bawah dan percepatan
gesekan dalam arah berlawanan dengan arah gerak.
Percepatan peluru akibat gesekan memenuhi persamaan umum
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
189
v a
f
3.37
dengan adalah konstanta yang bergantung pada volume peluru, bentuk
peluru, dan massa jenis udara yang dilewati. Dengan adanya percepatan ini maka percepatan total yang dialami peluru selama bergerak menjadi
g a
a
f
j g
j v
i v
y x
ˆ ˆ
ˆ
j g
v i
v
y x
ˆ ˆ
3.38
Dengan demikian, kecepatan peluru tiap saat memenuhi
a dt
v d
j g
v i
v j
v i
v dt
d
y x
x x
ˆ ˆ
ˆ ˆ
3.39
Kita selanjutnya menyamakan faktor yang memiliki vektor satuan sejenis sehingga kita peroleh persamaan berikut ini
x x
v dt
dv
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
190
g v
dt dv
y x
atau
dt v
dv
x x
3.40
dt g
v dv
y x
3.41
Kita lakukan integral dua ruas persamaan 3.40 dan 3.41 sehingga diperoleh
t v
v x
x
dt v
dv
x x
t v
v y
x
dt g
v dv
y y
Untuk menyelesaikan integral di atas kita gunakan kesamaan integral berikut
ln a
x a
x dx
. Dengan kesamaan ini maka hasil integral di atas adalah
t v
v
x x
ln
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
191
t g
v g
v
y y
ln
atau
t x
x
e v
t v
3.42a
t y
y
e g
v g
v
atau
g e
g v
t v
t y
y
3.42b
Posisi peluru tiap saat dapat ditentukan dengan melakukan integral pada komponen kecepatan. Misalkan mula-mula peluru berada di
pusat koordinat sehingga x = 0 dan y
= 0. Dengan demikian, komponen posisi peluru tiap saat memenuhi
t x
dt t
v t
x
dt e
v
t t
x
dt e
v
t t
x
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
192
t t
x
e v
1
1 1
t x
e v
t x
e v
1
t
e v
1 cos
3.43 dan
t y
dt t
v t
y
t
t y
dt g
e g
v
gt e
g v
t t
y
1
gt g
v e
g v
y t
y
1 1
gt e
g v
t y
1 1
gt e
g v
t
1 sin
1
3.44
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
193
Pertanyaan selanjutnya adalah, kapan peluru mencapai puncak lintasan? Pada puncak lintasan peluru hanya memiliki komponen
kecepatan arah horisontal. Komponen kecepatan arah vertikal adalah nol. Misalkan waktu saat peluru ada di puncak lintasan adalah t
m
maka dengan menggunakan persaamaan 3.42b kita peroleh
g e
g v
m
t y
atau
g e
g v
m
t y
atau
g v
g e
y t
m
atau
g v
g t
y m
ln
atau
g g
v t
y m
ln
atau
g g
v t
y m
ln 1
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
194
g v
y
1 ln
1
3.45
Kemudian kapan paluru mencapai tanah kembali? Kondisi ini dicapai saat posisi dalam arah vetikal nol. Misalkan waktu yang
diperlukan adalah T maka terpenuhi
1 sin
1
gT e
g v
T
atau
1 sin
gT e
g v
T
3.46
Persamaan ini hanya bisa diselesaikan secara numerik.
Contoh 3.2
Peluru ditembakkan dengan laju awal v = 200 ms dengan sudut elevasi
45
o
terhadap arah horisontal. Besar gaya gesekan peluru dengan udara adalah f = 0,05mv. Tentukan posisi tertinggi dan jarak tempuh peluru.
Bandingkan dengan kasus jika gesekan udara diabaikan.
Jawab Dari bentuk persamaan gaya gesekan ini kita simpulkan
= 0,05 s
-1
. Waktu yang diperlukan peluru mencapai posisi tertinggi lintasannya
diberikan oleh persamaan 3.45 yaitu
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
195
g v
t
y m
1 ln
1
82 ,
9 45
sin 200
05 ,
1 ln
05 ,
1
o
= 10,85 s.
Ketinggian lintasan peluru dihitung dengan persamaan 3.44, yaitu
m
t m
gt e
g v
y
m
1 sin
1
05 ,
85 ,
10 82
, 9
1 05
, 82
, 9
45 sin
200 05
, 1
85 ,
10 05
,
e
o
= 698 m
Waktu yang diperlukan pleuru mencapai tanah kembali diberikan oleh persamaan 3.46. Dengan memasukkan data yang diberikan maka
persamaan tersebut menjadi
82 ,
9 1
05 ,
82 ,
9 45
sin 200
05 ,
T e
T o
atau
82 ,
9 1
82 ,
337
05 ,
T e
T
Dengan menggunakan Excel, solusi persamaan di atas adalah T = 24,08 s. Substitusi T ke dalam persamaan 3.43 maka diperoleh jarak tempuh
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
196
08 ,
24 05
,
1 05
, 45
cos 200
e
R
o
= 1.980 m
Jika dianggap tidak ada gesekan udara maka ketinggian maksimum lintasan peluru adalah
g v
y
m
2 sin
2 2
82 ,
9 2
45 sin
200
2 2
o
= 1.018 m
Jangkauan peluru
g v
R
2 sin
2
82 ,
9 45
2 sin
200
2 o
= 4.073 m
Peluru Kendali cukup rumit dan dapat dilewati
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
197
Peluru kendali dapat dipandang sebagai peluru yang dapat mengenai sasaran yang sedang terbang. Ketika melihat sasaran maka
peluru terus bergerak mengikuti sasaran. Jika sasaran berbelok maka peluru akan ikut berbelok sehingga makin lama jarak peluru ke sasaran
makin dekat. Di sini kita membuat persamaan sederhana tentang peluru kendali. Kita turunkan persamaan untuk untuk peluru anti rudal. Rudal
ditembakkan dengan kecepatan awal tertentu sehingga bergerak dalam lintasan parabola. Kemudian beberapa saat berikutnya peluru kendali anti
rudal ditembakkan untuk meledakaan rudal di udara.
Untuk menurunkan persamaan kita gunakan arumsi berikut ini: a
Peluru kendali ditembakkan pada pusat koordinat. b
Rudal ditembakkan dari posisi awal x
r0
dan y
r0
= 0. Peluru kendali dan rudal bergerak dalam bidang vertikal yang sama
c Rudal ditembakkan pada saat t = 0
d Peluru kendali ditembak pada saat t
p0
. e
Laju peluru kendali selalu konstan. Artinya peluru kendali dilengkapi dengan mesin berbahan bakar sehingga bisa terus
diarahkan ke rudal pada kecepatan tinggi.
f Gaya gesekan udara dibaikan
g Arah prluru kendali sama dengan vektor penghubung peluru
kendali dengan rudal liah Gambar 3.17 Anggap rudal ditembakkan dari posisi awal
ˆ
r r
x i
r
. Posisi rudal tiap saat memenuhi persamaan
2
2 1
sin ˆ
cos ˆ
gt t
v j
t v
i r
t r
r r
r r
3.47 Posisi peluru kendali tiap saat adalah
ˆ ˆ
t y
j t
x i
r
p p
p
3.48
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
198
Lintasan rudal
r
r
p
r
rp
r
r
v
p
v
Gambar 3.17 Rudal bergerk dalam lintasan parabola sedangkan peluru kendali selalu bergerak menuju ke arah rudal.
Dengan demikian vektor yang menghubungkan peluru kendali dan rudal adalah
p r
rp
r r
r
2 1
sin ˆ
cos ˆ
2
t y
gt t
v j
t x
t v
x i
p r
p r
r
3.49
Vektor satuan yang menyatakan arah gerak peluru kendali adalah
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
199
rp rp
rp
r r
r
ˆ
3.50
di mana
2 2
2
2 1
sin cos
t y
gt t
v t
x t
v x
r
p r
p r
r rp
3.510
Karena arah gerak peluru kendali sama dengan arah vektor yang menguhungkan peluru kendali dan rudal maka kecepatan peluru kendali
tiap saat dapat ditulis
rp p
p
r v
v ˆ
rp rp
p
r r
v
3.52
Posisi peluru kendali tiap saat menjadi
t t
p p
p
dt v
t r
t t
rp rp
p
p
dt r
r v
3.53
Persamaan 3.53 sulit diintegral secara langsung. Yang dapat kita
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
200
lakukan adalah mengitung secara numerik dengan memulai dari persamaan
p p
v t
r
3.54
Persamaan 3.54 dapat ditulis
t v
t t
r t
t r
p p
p
atau
t t
v t
r t
t r
p p
p
3.55
Jika diuraikan atas komponen-komponennya maka persamaan 3.55 menjadi
t t
v t
x t
t x
px p
p
3.56a
t t
v t
y t
t y
py p
p
3.56b
Dengan menggunakan persamaan 3.40, 3.50, 3.51, 3.52, 3.56a, dan 3.56b maka kita mendapatkan persamaan rekursif berikut
2 2
2
2 1
sin cos
cos
t
y gt
t v
t x
t v
x t
t x
t v
x t
x t
t x
p r
p r
r p
r r
p p
3.57a
Bab 3 Gerak Dua Dimensi
201
2 2
2 2
2 1
sin cos
2 1
sin
t
y gt
t v
t x
t v
x t
t y
gt t
v t
y t
t y
p r
p r
r p
r p
p
3.57b
Persamaan 3.57a dan 3.57b merupapakan persamaan dasar untuk melakukan proses perhitungan numerik. Perhitungan dimulai dari waktu
t
p0
.