Dalil Sumbu Sejajar Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016

Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 648 dm x Sumbu pusat massa Sumbu sejajar D Gambar 9.10 Menentukan momen inersia pada sumbu sembarang yang sejajar dengan sumbu pusat massa. Dalil sumbu sejajar dapat dibuktikan dengan mudah secara integral seperti dijelaskan berikut ini. Perhatikan Gambar 9.10. Momen inersia terhadap sumbu pusat massa memenuhi persamaan   dm x I pm 2 Momen inersia terhadap sumbu sejajar sumbu pusat massa dan berjarak D dari sumbu pusat massa adalah    dm D x I 2     dm D Dx x 2 2 2 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 649       dm D xdm D dm x 2 2 2 Suku pertama persamaan di atas tidak lain daripada momen inersia terhadap sumbu pusat massa. Integral pada suku ketiga hasilna M. Integral pada suku kedua nol karena sebaran materi di sekitar pusat massa merata sama bobotya di segala arah. Tiap elemen memiliki pasangan pada posisi berseberangan berharga negatif. Akhirnya kita dapatkan momen inersia terhadap sumbu sejajar sumbu pusat massa menjadi sama dengan persamaan 9.11 Contoh 9.6 Sebuah bola memiliki jar-jari R dan massa M. Momen inersia terhadap pusat massa adalah I PM = 25MR 2 . Berapakah momen inersia bola terhadap sumbu yang menyinggung permukaan bola? Jawab Persoalan di atas diilustrasikan pada Gambar 9.11. D I pm I Gambar 9.11 Gambar untuk Contoh 9.6. Tampak dari gambar bahwa jarak antara dua sumbu adalah D = R. Dengan demikian, momen inersia terhadap sumbu yang menyinggung permukaan Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 650 bola adalah 2 MD I I PM   2 2 2 5 7 5 2 MR MR MR   

9.5 Jari-jari Girasi

Sekarang kita akan bahas satu besaran yang berkaitan langsung dengan momen inersia, yaitu jari-jari girasi. Untuk memahami pentingnya jari-jari girasi, perhatikan skema rangkaian polimer panjang seperti pada Gambar 9.12. Pertanyaan berikutnya adalah bagaimanakah mendefinsikan ukuran polimer tersebut? Apakah jarak antar ujung terjauh, atau antar ujung terdekat, atau rata-rata ujung terjauh dan terdekat? Ternyata yang lebih bermakna secara fisis adalah ukuran yang memiliki keterkaitan dengan rotasi molekul. Jika molekul tersebut berada dalam medium cair maka molekul selalu bergerak, berubah bentuk, berotasi, dan sebagainya. Secara umum bentuk molekul tidak tetap tetapi selalu berubah seriap saat. Dengan demikian, mendefinisikan ukuran molekul sebagai jarak posisi terjauh atau terdekat menjadi tidak realistis. Dan besaran yang lebih realistis untuk mendefinisikan ukuran molekul tersebut adalah jari-jari girasi. Apa itu jari-jari girasi? Jika sebuah benda titik yang memiliki massa M yang berjarak R dari sumbu putar maka momen inersia benda tersebut memenuhi I = MR 2 . Namun jika benda bukan titik maka momen inersianya terhadap pusat massa memiliki bentuk yang bermacam-macam bergantung pada bentuk benda. Jari-jari girasi didefinsikan sebagai berikut. Misalkan sebuah benda benda memiliki momen inersia I terhadap suatu sumbu. Apabila benda bukan titik tersebut diperas menjadi sebuah titik, berapakah jarak titik tersebut dari sumbu yang sama agar momen inersianya sama dengan momen inersia benda awal Gambar 9.13. Jarak inilah yang disebut jari-jari girasi. Karena benda sudah diperas menjadi titik massa maka momen inersianya memenuhi 2 g MR . Karena momen inersianya harus sama dengan momen inersia benda awal maka diperoleh persamaan I MR g  2 atau M I R g  9.12 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 651 Gambar 9.12 Contoh skema rangkaian polimer panjang. R g M Diubah menjadi titik massa Sumbu I Gambar 9.13 Ilustrasi untuk mendefinsikan jari-jari girasi. Benda besar diperas menjadi sebuah titik dan jarak titik dari sumbu agar momen inersianya tetap merupakan jari-jari girasi.