Momen Inersia Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016

Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 631 Energi kinetik benda adalah 2 2 2 1 2 1 r m mv K    2 2 2 1  mr  9.2 Mari kita bandingkan ungkapan energi kinetik gerak rotasi pada persamaan 9.2 dengan energi kinetik gerak translasi murni:  Energi kinetik untuk gerak translasi murni: 2 2 1 mv K   Energi kinetik untuk gerak rotasi: 2 2 2 1  mr K  Tampak dari dua persamaan di atas bahwa pada gerak rotasi besaran mr 2 memiliki fungsi yang sangat mirip dengan m pada gerak translasi. Pada gerak translasi, m disebut massa atau inersia. Karena kemiripan fungsi tersebut maka pada gerak rotasi, kita definisikan mr 2 sebagai momen inersia. Jadi, untuk benda titik yang berotasi terhadap sumbu yang berjarak r dari sumbu rotasi, momen inersianya memenuhi 2 mr I  9.3 Mari kita cermati persamaan 9.3. Ketika menentukan momen inersia, kita harus memperhatikan posisi sumbu. Momen inersia sangat bergantung pada jarak benda dari sumbu. Benda yang sama memiliki momen inersia yang berbeda jika jarak sumbunya berbeda. Benda dalam Gambar 9.2 mirip dengan pada Gambar 9.1. Hanya saja, pada Gambar 9.2 batang sedikit dilbelokkan sehingga membentuk sudut kurang dari 90 o terhadap sumbu. Jarak benda ke sumbu menjadi lebih pendek sehingga momen inersianya lebih kecil daripada bentuk seperti pada Gambar 9.1 Pebalet dalam posisi lurus tegak memiliki momen inersia kecil. Seluruh bagian tubuh berada lebih dekat ke sumbu badan. Ketika merentangkan kaki dan tangan, momen inersia pebalet besar karena Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 632 sebagian anggota tubuh berada lebih jauh dari sumbu tubuh Gambar 9.3  m r Sumbu Gambar 9.2 Momen inersia benda dengan bentuk ini lebih kecil daripada momen inersia susunan pada Gambar 9.1. Hal ini disebabkan jarak benda ke sumbu lebih kecil. Gambar 9.3 kiri Momen inersia kecil karena jarak bagian-bagian tubuh ke sumbu putar lebih pendak. kanan Momen inersia besar karena jarak bagian-bagian tubuh ke sumbu putar lebih besar. Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 633 Dari persamaan 9.2 dan 9.3 kita dapat menulis energi kinetik benda yang bergerak rotasi sebagai 2 2 1  I K  9.4 Bentuk ungkapan energi kinetik rotasi di atas persis sama dengan bentuk energi kinetik untuk gerak translasi. Contoh 9.1 Berapakah momen inersia dan energi kinetik bulan yang beredar mengelilingi bumi? Jawab Massa bulan, M b = 7,4  10 22 kg, jarak bulan ke bumi adalah r b = 384.404 km = 3,84  10 8 m, dan periode edar bulan mengelilingi bumi adalah T b = 27,5 hari = 2,38  10 6 s. Karena diameter bulan jauh lebih kecil daripada jarak bulan-bumi maka bulan dapat dipandang sebagai benda titik. Momen inersia bulan terhadap sumbu yang berada di bumi adalah 2 b b b r M I  2 8 22 10 84 , 3 10 4 , 7     = 1,1  10 40 kg m 2 . Kecepatan sudut revolusi bulan adalah Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 634 b T   2  6 10 38 , 2 2    = 2,64  10 -6 rads Energi kinetik bulan 2 2 1  I K  2 6 40 10 64 , 2 10 1 , 1 2 1       = 3,8  10 28 J Nilai ini harusnya sama dengan enegri kinetik jika bulang dipandang hanya melakukan gerak translasi. Laju translasi bulan adalah b b T r v  2  6 8 10 38 , 2 10 84 , 3 2      = 1.014 ms Energi kinetik translasi bulan adalah Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 635 2 2 1 v M K b  2 22 014 . 1 10 4 , 7 2 1     = 3,8  10 28 J

9.2 Momen Inersia Sejumlah Partikel

Jika sistem yang sedang kita bahas mengandung sejumlah partikel maka momen inersia total sistem tersebut merupakan jumlah momen inersia masing-masing partikel. Penjumlahan dapat dilakukan secara aljabar biasa karena pada pelajaran ini kita anggap momen inersia merupakan besaran skalar. Pada pelkajaran fisika lanjut sebenarnya momen inersia merupakan bukan skalar melainkan tensor rank-2 atau matriks. Sumbu m 1 m n m 2 r 1 r 2 r n Gambar 9.4 Sistem partikel yang terdiri dari sejumlah partikel dengan massa berbeda-beda dan jarak yang berbeda-beda dari sumbu. Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 636 Dari Gambar 9.4 kita misalkan momen inersia masing-masing partikel adalah 2 1 1 1 r m I  9.5a 2 2 2 2 r m I  9.5b … 2 n n n r m I  9.5c Dalam ungkapan di atas i m adalah massa partikel ke-i dan i r adalah jarak partikel ke-i dari sumbu putar. Momen inersia total sistem partikel adalah n I I I I     ... 2 1    n i i I 1 9.6 Misalkan benda m i berada pada posisi sembarang i r  dan kita pilih sumbu putar sejajar dengan sumbu z Gambar 9.5. Jika sudut antara sumbu putar dengan vektor posisi benda adalah  i maka jarak tegak lurus benda ke sumbu putar adalah i i r x  sin  i r k    ˆ