Momen Inersia Sejumlah Partikel

Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 636 Dari Gambar 9.4 kita misalkan momen inersia masing-masing partikel adalah 2 1 1 1 r m I  9.5a 2 2 2 2 r m I  9.5b … 2 n n n r m I  9.5c Dalam ungkapan di atas i m adalah massa partikel ke-i dan i r adalah jarak partikel ke-i dari sumbu putar. Momen inersia total sistem partikel adalah n I I I I     ... 2 1    n i i I 1 9.6 Misalkan benda m i berada pada posisi sembarang i r  dan kita pilih sumbu putar sejajar dengan sumbu z Gambar 9.5. Jika sudut antara sumbu putar dengan vektor posisi benda adalah  i maka jarak tegak lurus benda ke sumbu putar adalah i i r x  sin  i r k    ˆ Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 637 m i Sumbu i r   Gambar 9.5 Momen inersia benda terhadap sumbu vertikal. Dengan demikian momen inersia benda terhadap subu putar adalah 2 x m I i i  2 ˆ i i r k m    9.7 Jika sumbu putar sejajar dengan vektor sembarang R  maka vaktor satuan searah sumbu putar adalah R R R   ˆ Jarak benda ke sumbu putar adalah Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 638 i r R x    ˆ Maka momen inersia benda terhadap sumbu putar menjadi 2 x m I i i  2 ˆ i i r R m    2 R r R m i i     9.8 Contoh 9.3 Sebuah titik massa 0,1 kg berada pada vektor posisi k j i r ˆ ˆ 2 ˆ 7     meter. Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, sumbu y, sumbu z. Tentukan pula momen inersia terhadap sumbu yang sejajar dengan vektor j i R ˆ 4 ˆ 3    . Jawab Momen inersia terhadap sumbu-x. Kita hitung dulu ˆ ˆ 2 ˆ 7 ˆ ˆ k j i i r i       k i j i i i ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 7       j k ˆ ˆ 2    5 1 2 ˆ 2 2      r i  m Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 639 2 ˆ r i m I x      2 5 1 ,   = 0,5 kg m 2 Momen inersia terhadap sumbu-y. Kita hitung dulu ˆ ˆ 2 ˆ 7 ˆ ˆ k j i j r j       k j j j i j ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 7       i k ˆ ˆ 7     50 7 1 ˆ 2 2      r j  m 2 ˆ r j m I x      2 50 1 ,   = 5 kg m 2 Momen inersia terhadap sumbu-z. Kita hitung dulu ˆ ˆ 2 ˆ 7 ˆ ˆ k j i k r k       k k j k i k ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 7       ˆ 2 ˆ 7    i j 53 7 2 ˆ 2 2      r k  m Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 640 2 ˆ r k m I x      2 53 1 ,   = 5,3 kg m 2 Momen inersia terhadap sumbu yang sejajar R  . Kita hitung dulu ˆ ˆ 2 ˆ 7 ˆ 4 ˆ 3 k j i j i r R         k j j j i j k i j i i i ˆ ˆ 4 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 28 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 6 ˆ ˆ 21             i k j k ˆ 4 ˆ 28 ˆ 3 ˆ 6       k j i ˆ 22 ˆ 3 ˆ 4    509 22 3 4 2 2 2        r R   m 5 4 3 2 2    R 2 2 2 R r R m I x      25 509 1 , 2   = 2,036 kg m 2

9.3 Momen Inersia Benda Kontinu

Menentukan momen inersia benda-benda kontinu seperti tongkat, bola, dan silinder tidak dapat dilakukan dengan penjumlahan sederhana Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 641 seperti di atas. Momen inersia benda-benda ini dihitung dengan cara integral. Mari kita bahas bagaimana penurunannya. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 9.6, benda kontinu besar dibagi atas elemen-elemen kecil. Massa masing-masing elemen adalah m 1 , m 2 , m 3 , …,m i , …. Jarak tegak lurus elemen massa ke sumbu putar adalah r 1 , r 2 , r 3 , …, r i ,….. Momen inersia benda kontinu dapat ditulis sebagai 2 2 2 2 2 2 1 1 ... ... N N i i r m r m r m r m I               N i i i r m 1 2 9.9 m 1 m 2 m 3 m i r 1 r 2 r 3 r i Gambar 9.6 Benda kontinu dibagi atas elemen-elemen kecil. Tiap elemen dapat dipandang sebagai benda titik. Jumlah elemen adalan N yang nilainya menuju tak berhingga . Seperti yang umum dilakukan, jika kita mengambil m i  0 maka