Momen Inersia Benda Kontinu

Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 641 seperti di atas. Momen inersia benda-benda ini dihitung dengan cara integral. Mari kita bahas bagaimana penurunannya. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 9.6, benda kontinu besar dibagi atas elemen-elemen kecil. Massa masing-masing elemen adalah m 1 , m 2 , m 3 , …,m i , …. Jarak tegak lurus elemen massa ke sumbu putar adalah r 1 , r 2 , r 3 , …, r i ,….. Momen inersia benda kontinu dapat ditulis sebagai 2 2 2 2 2 2 1 1 ... ... N N i i r m r m r m r m I               N i i i r m 1 2 9.9 m 1 m 2 m 3 m i r 1 r 2 r 3 r i Gambar 9.6 Benda kontinu dibagi atas elemen-elemen kecil. Tiap elemen dapat dipandang sebagai benda titik. Jumlah elemen adalan N yang nilainya menuju tak berhingga . Seperti yang umum dilakukan, jika kita mengambil m i  0 maka Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 642 penjumlahan pada persamaan 9.9 berubah menjaid integral dengan terlebih dahulu melakukan transformasi berikut ini dm m i   r r i        ... ... 1 N i Dengan transformasi ini maka momen inersia yang diberikan oleh persamaan 9.9 berubah menjadi   dm r I 2 9.10 Integral pada persamaan 9.10 seringkali sulit dilakukan meskipun untuk benda-benda yang bentuknya teratur seperti bola, silinde, persegi panjag, dan lain-lain. Untuk menghindari kesulitan tersebut umumnya disediakan data momen inersia yang bisa langsung digunakan. Sebagai contoh Gambar 9.7 adalah momen inersia sejumlah benda teratur terhadap sumbu yang lokasinya melewati pusat massa atau melewati ujung benda. Pada contoh berikut kita akan mencoba menghitung langsung momen inersia dengan menggunakan persamaan 9.10. Contoh 9.4 Batang dengan panjang L memiliki rapat massa per satuan panjang  yang konstan. Sebuah sumbu putar yang tegak lurus batang dipasang pada jarak a dari salah satu ujung batang. Berapa momen inersia terhadap sumbu tersebut? Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 643 2 2 2 2 1 R R M I   2 MR I  2 2 MR I  2 2 b a M I   5 2 2 MR I  3 2 2 MR I  12 2 ML I  3 2 ML I  L L R R R R R 1 R 2 Gambar 9.7 Momen inersia sejumlah benda yang memiliki bentuk simetri . Jawab Pertanyaan di atas diilustrasikan pada Gambar 9.8. Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 644 dx x x = -a x = L-a Sumbu Gambar 9.8 Gambar untuk contoh 9.4 Sekarang kita membahas persoalan satu dimensi sehingga kita dapat mengganti variabel r dengan x. Tampak batang ditempatkan pada sumbu x, dalah satu ujung berada pada koordinat x = -a dan ujung lain pada koordinat x = L-a. Perhatikan elemen kecil setebal dx yang memiliki jarak x dari sumbu. Massa elemen tersebut adalah dm = dx. Dengan demikian momen inersia memenuhi persamaan integral     a L a dm x I 2     a L a dx x  2     a L a dx x 2  a L a x        3 3 1          3 3 3 1 3 1 a a L  Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 645   3 3 3 1 a a L     Karena massa jenis batang konstan maka massa batang adalah M = L. Dengan demikian, momen inersia dapat ditulis sebagai     3 3 3 1 a a L L L I       3 3 3 1 a a L L M    Sekarang kita tinjau dua kasus khusus yaitu jika sumbu berada di salah satu ujung dan berada di tengah-tengah batang. Jika sumbu berada di salah satu ujung maka a = 0 sehingga   3 3 3 1    L L M I   3 3 1 L L M  2 3 1 ML  Jika sumbu berada di tengah-tengah batang maka a = L2 sehingga momen inersia menjadi   3 3 2 2 3 1 L L L L M I    Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 646        4 3 1 3 L L M 2 12 1 ML  Contoh 9.5 Misalkan massa jenis batang yang memiliki panjang L tidak konstan. Massa jenis pada berbagai posisi memenuhi persamaan bx     dengan b adalah konstanta positif. Sumbu rotasi ditempatkan pada ujung batang yang memiliki massa jenis terkecil. Berapa momen inersia batang terhadap sumbu tersebut? Jawab Batang pada soal di atas diilustrasikan pada Gambar 9.9. dx x x = L Sumbu Gambar 9.9 Gambar untuk Contoh 9.5 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 647 Perhatikan elemen setebal dx yang berada pada jarak dari sumbu. Massa elemen tersebut adalah dm = dx =  +bxdx. Momen inersia batang adalah   L dm x I 2    L dx bx x 2     L dx bx x 3 2  L bx x 4 3 4 1 3 1        4 3 4 1 3 1 bL L   

9.4 Dalil Sumbu Sejajar

Momen inersia sebuah benda, khususnya yang memiliki bentuk tidak teratur lebih mudah ditentukan terhadap sumbu yang melalui pusat massa. Penentuan ini dapat dilakukan secara eksperimen. Namun bagaimana menentukan momen inersia benda tersebut jika sumbu tidak melalui pusat massa? Untuk maksud tersebut kita ditolong oleh suatu dalil yang namanya dalil sumbu sejajar. Asalkan momen inersia terhadap sumbu pusat massa diketahui, maka momen inersia pada sembarang sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat massa dapat ditentukan. Besaran yang perlu diketahui adalah massa benda dan jarak antara dua sumbu yang sejajar. Jika diketahui momen inersia terhadap sumbu pusat massa adalah I PM maka momen inersia benda bermassa M pada sembarang sumbu yang berjarak D dari sumbu pusat massa dan sejajar dengan sumbu pusat massa memenuhi 2 MD I I PM   9.11 Bab 9 Benda Tegar dan Elastisitas 648 dm x Sumbu pusat massa Sumbu sejajar D Gambar 9.10 Menentukan momen inersia pada sumbu sembarang yang sejajar dengan sumbu pusat massa. Dalil sumbu sejajar dapat dibuktikan dengan mudah secara integral seperti dijelaskan berikut ini. Perhatikan Gambar 9.10. Momen inersia terhadap sumbu pusat massa memenuhi persamaan   dm x I pm 2 Momen inersia terhadap sumbu sejajar sumbu pusat massa dan berjarak D dari sumbu pusat massa adalah    dm D x I 2     dm D Dx x 2 2 2