Hukum Kepler untuk Gerak Planet Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton

Bab 8 Gravitasi 565 titik fokus sama luas Matahari planet Gambar 8.10 Lintasan planet mengelilingi matahari berbentuk ellips. Pada selang waktu yang sama garis hubung planet dan matahari menyapu daerah yang luasnya sama. Hukum III Kepler Perbandingan kuadrat periode revolusi planet mengelilingi matahari dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet ke matahari sama untuk semua planet.

8.9 Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton

Sangat mencengangkan ternyata semua hukum Kepler dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum gravitasi umum Newton. Untuk membuktikan hukum I Kepler kita perlu pengetahuan matematika yang lebih tinggi, yaitu kalkulus. Di sini kita buktikan buktikan bahwa hukum gravitasi Newton dapat menurunkan hukum II dan III Kepler. Bab 8 Gravitasi 566 Pebuktian Hukum II Kepler Lihat Gambar 8.11. Selama selang waktu t planet menyapu daerah yang diarsir. Kita akan hitung luas daerah yang diarsir tersebut. i. Kecepatan planet saat itu adalah v dan menyinggung lintasan. ii. Jika planet bergerak lurus mengikuti arah kecepatan, maka jarak tempuh planet selama selang waktu t adalah t v  . iii. Tetapi karena ada tarikan matahari, mata lintasan planet membelok mengikuti lengkungan ellips. Akibatnya, selama selang waktu t, planet hanya menempuh jarak lengkung ellips yang panjangnya kira-kira sama dengan  sin t v  . Kedua panjang tersebut menjadi persis sama jika diambil t  0. Di sini  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor jari-jari dengan vektor kecepatan planet. iv. Daerah yang disapu planet berbentuk segitiga. Panjang alas segi tiga kira-kira sama dengan  sin t v  dan tingginya kira-kira sama dengan jari-jari orbit planet. Dengan demikian, luas daerah yang disapu planet selama t adalah tinggi panjang A     2 1 sin 2 1  t v r     t rv M M p p   sin 2 1  8.23 Momen gaya yang bekerja pada planet akibat gaya gravitasi matahari adalah F r       Bab 8 Gravitasi 567          r r M M G r p M   3 3     r r r M M G p M   M M M P v v t  r Gambar 8.11 Sketsa untuk membuktian hukum II Kepler. Karena momen gaya nol maka momentum sudut planet konstan atau kekal topik ini akan kita bahas secara detail pada Bab 9. Momentum sudut planet yang mengitari matahari adalah p r L      Besarnya momentum sudut adalah  sin rp L  Bab 8 Gravitasi 568  sin v rM p  8.24 Substitusi persamaan 8.24 ke dalam persamaan 8.23 kita peroleh t M L A p    2 8.25 Karena L konstan untuk tiap planet maka persamaan 8.25 menyatakan bahwa untuk satu planet, luas daerah yang disapu berbanding lurus dengan selang waktu. Dengan perkataan lain, pada selang waktu yang sama, luas daerah yang disapu garis hubung planet dengan matahari selalu sama. Ini adalah ungkapan hukum II Kepler. Pembuktian Hukum III Kepler Untuk membuktikah hukum III Kepler, kita anggap lintasan planet sekitar matahari berbentuk lingkaran. Hal ini tidak tertalu salah, karena walaupun lintasan planet sekitar matahari berbentuk ellips, namun ellips yang terbentuk sangat mendekati bentuk lingkaran. Gaya gravitasi matahari pada planet adalah F = GMmr 2 , dengan M massa matahari, m massa planet, r jarak matahati-planet. Gaya ini berperan sebagai gaya sentripetal pada planet sehingga r v m r Mm G 2 2  atau 2 v r M G  8.26 Dengan asumsi lintasan yang mendekati lingkaran maka laju revolusi planet memenuhi v = 2rT sehingga GMr = 2rT 2 yang selanjutnya dapat ditulis sebagai Bab 8 Gravitasi 569 GM r T 2 3 2 4   8.27 Ruas kanan persamaan 8.27 hanya bergantung pada massa matahari. Jadi T 2 r 3 akan sama untuk semua planet, sesuai dengan hukum III Kepler. Dengan memasukkan massa matahari dan konstanta gravitasi mama nilai di ruas kanan persamaan 8.27 adalah 2,97  10 -20 s 2 m -3 . Hukum Kepler tidak hanya berlaku bagi planet yang mengitari matahari, tetapi juga untuk satelit yang mengitari planet, termasuk satelit buatan manusia yang mengitari bumi. Intinya adalah hukum Kepler berlaku bagi semua benda yang mengorbit benda lain di bawah pengarus gaya tarik yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Dengan demikian, hukum Kepler juga berlaku bagi elektron yang mengitari inti pada atom karena berada di bawah pengarus gaya Coulomb yang memiliki bentuk serupa dengan hukum gravitasi.

8.10 Pembuktikan Persamaan Gravitasi dari Hukum Kepler

Tiga hukum Kepler ditemukan sebelum hukum gravitasi universal Newton ditemukan. Setelah Newton menemukan hukum gravitasi ternyata tida hukum Kepler merupakan konsekuansi dari hukum gravitasi Newton. Dengan kata lain tiga hukum Kepler dapat diturunkan dari hukum gravitasi Newton. Namun kita dapat membalik argumentasi di atas bahwa hukum gravitasi Newton dapat diturunkan dari hukum Kepler. Lebih khusus lagi kita dapat menurunkan hukum gravitasi di mana gaya antara planet dan matahari berbanding terbalik dengan pangkat dua jarak antar planet matahari. Topik ini didiskusikan oleh Macklin dan kita menerangkan ulang di sini penjelasan Macklin [P.A. Macklin, American Journal of Physics

39, 1088 1971].

Hukum pertama Kepler menyatakan bahwa planet mengitari matahari dalam orbit yang berbentuk ellips di mana matahari berada pada salag satu titik fokus ellips. Perhatikan Gambar 8.12. Bab 8 Gravitasi 570 r A r P v A v P R R Gambar 8.12 Saat berada di apogee dan perigee, planet seolah bergerak dalam lintasan lingkaran dengan jari-jari yang sama. Di titik apogee titik terjauh dari matahari dan perigee titik terdekat dengan matahari planet bergerak dalam arah tegak lurus vektor penghubungn dengan matahari. Pada titik tersebut seolah-olah planet bergerak dalam orbit lingkaran dengan jari-jari R sama dengan jarik-jari kelengkungan kurva di titik apogee dan perigee. Laju planet pada titik apogee adalah v A dan pada titik perigee adalah v P . Gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadi R mv F A A 2  8.28 Karena ellips adalah bangun yang bersifat simetri maka jari-jari kelengkungan di titik perigee juga R. Dengan demikian, gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadi