Hukum Kepler untuk Gerak Planet Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton
8.9 Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton
Sangat mencengangkan ternyata semua hukum Kepler dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum gravitasi umum Newton. Untuk membuktikan hukum I Kepler kita perlu pengetahuan matematika yang lebih tinggi, yaitu kalkulus. Di sini kita buktikan buktikan bahwa hukum gravitasi Newton dapat menurunkan hukum II dan III Kepler. Bab 8 Gravitasi 566 Pebuktian Hukum II Kepler Lihat Gambar 8.11. Selama selang waktu t planet menyapu daerah yang diarsir. Kita akan hitung luas daerah yang diarsir tersebut. i. Kecepatan planet saat itu adalah v dan menyinggung lintasan. ii. Jika planet bergerak lurus mengikuti arah kecepatan, maka jarak tempuh planet selama selang waktu t adalah t v . iii. Tetapi karena ada tarikan matahari, mata lintasan planet membelok mengikuti lengkungan ellips. Akibatnya, selama selang waktu t, planet hanya menempuh jarak lengkung ellips yang panjangnya kira-kira sama dengan sin t v . Kedua panjang tersebut menjadi persis sama jika diambil t 0. Di sini adalah sudut yang dibentuk oleh vektor jari-jari dengan vektor kecepatan planet. iv. Daerah yang disapu planet berbentuk segitiga. Panjang alas segi tiga kira-kira sama dengan sin t v dan tingginya kira-kira sama dengan jari-jari orbit planet. Dengan demikian, luas daerah yang disapu planet selama t adalah tinggi panjang A 2 1 sin 2 1 t v r t rv M M p p sin 2 1 8.23 Momen gaya yang bekerja pada planet akibat gaya gravitasi matahari adalah F r Bab 8 Gravitasi 567 r r M M G r p M 3 3 r r r M M G p M M M M P v v t r Gambar 8.11 Sketsa untuk membuktian hukum II Kepler. Karena momen gaya nol maka momentum sudut planet konstan atau kekal topik ini akan kita bahas secara detail pada Bab 9. Momentum sudut planet yang mengitari matahari adalah p r L Besarnya momentum sudut adalah sin rp L Bab 8 Gravitasi 568 sin v rM p 8.24 Substitusi persamaan 8.24 ke dalam persamaan 8.23 kita peroleh t M L A p 2 8.25 Karena L konstan untuk tiap planet maka persamaan 8.25 menyatakan bahwa untuk satu planet, luas daerah yang disapu berbanding lurus dengan selang waktu. Dengan perkataan lain, pada selang waktu yang sama, luas daerah yang disapu garis hubung planet dengan matahari selalu sama. Ini adalah ungkapan hukum II Kepler. Pembuktian Hukum III Kepler Untuk membuktikah hukum III Kepler, kita anggap lintasan planet sekitar matahari berbentuk lingkaran. Hal ini tidak tertalu salah, karena walaupun lintasan planet sekitar matahari berbentuk ellips, namun ellips yang terbentuk sangat mendekati bentuk lingkaran. Gaya gravitasi matahari pada planet adalah F = GMmr 2 , dengan M massa matahari, m massa planet, r jarak matahati-planet. Gaya ini berperan sebagai gaya sentripetal pada planet sehingga r v m r Mm G 2 2 atau 2 v r M G 8.26 Dengan asumsi lintasan yang mendekati lingkaran maka laju revolusi planet memenuhi v = 2rT sehingga GMr = 2rT 2 yang selanjutnya dapat ditulis sebagai Bab 8 Gravitasi 569 GM r T 2 3 2 4 8.27 Ruas kanan persamaan 8.27 hanya bergantung pada massa matahari. Jadi T 2 r 3 akan sama untuk semua planet, sesuai dengan hukum III Kepler. Dengan memasukkan massa matahari dan konstanta gravitasi mama nilai di ruas kanan persamaan 8.27 adalah 2,97 10 -20 s 2 m -3 . Hukum Kepler tidak hanya berlaku bagi planet yang mengitari matahari, tetapi juga untuk satelit yang mengitari planet, termasuk satelit buatan manusia yang mengitari bumi. Intinya adalah hukum Kepler berlaku bagi semua benda yang mengorbit benda lain di bawah pengarus gaya tarik yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Dengan demikian, hukum Kepler juga berlaku bagi elektron yang mengitari inti pada atom karena berada di bawah pengarus gaya Coulomb yang memiliki bentuk serupa dengan hukum gravitasi.8.10 Pembuktikan Persamaan Gravitasi dari Hukum Kepler
Tiga hukum Kepler ditemukan sebelum hukum gravitasi universal Newton ditemukan. Setelah Newton menemukan hukum gravitasi ternyata tida hukum Kepler merupakan konsekuansi dari hukum gravitasi Newton. Dengan kata lain tiga hukum Kepler dapat diturunkan dari hukum gravitasi Newton. Namun kita dapat membalik argumentasi di atas bahwa hukum gravitasi Newton dapat diturunkan dari hukum Kepler. Lebih khusus lagi kita dapat menurunkan hukum gravitasi di mana gaya antara planet dan matahari berbanding terbalik dengan pangkat dua jarak antar planet matahari. Topik ini didiskusikan oleh Macklin dan kita menerangkan ulang di sini penjelasan Macklin [P.A. Macklin, American Journal of Physics39, 1088 1971].
Hukum pertama Kepler menyatakan bahwa planet mengitari matahari dalam orbit yang berbentuk ellips di mana matahari berada pada salag satu titik fokus ellips. Perhatikan Gambar 8.12. Bab 8 Gravitasi 570 r A r P v A v P R R Gambar 8.12 Saat berada di apogee dan perigee, planet seolah bergerak dalam lintasan lingkaran dengan jari-jari yang sama. Di titik apogee titik terjauh dari matahari dan perigee titik terdekat dengan matahari planet bergerak dalam arah tegak lurus vektor penghubungn dengan matahari. Pada titik tersebut seolah-olah planet bergerak dalam orbit lingkaran dengan jari-jari R sama dengan jarik-jari kelengkungan kurva di titik apogee dan perigee. Laju planet pada titik apogee adalah v A dan pada titik perigee adalah v P . Gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadi R mv F A A 2 8.28 Karena ellips adalah bangun yang bersifat simetri maka jari-jari kelengkungan di titik perigee juga R. Dengan demikian, gaya ke arah matahari yang bekerja pada planet saat berada di titik apogee menjadiParts
» Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Besaran Fisika Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pengukuran dan Satuan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Satuan Sistem Internasional Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Penetapan Nilai Satuan SI untuk Besaran Pokok
» Awalan Satuan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Konversi Satuan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pengukuran Luas Tanah Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pengolahan Data Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Posisi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Perpindahan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Jarak Tempuh Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kecepatan Rata-Rata Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Laju Rata-Rata Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kecepatan Sesaat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Laju Sesaat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Percepatan Rata-rata Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Percepatan Sesaat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Menentukan Kecepatan dari Percepatan
» Menentukan Posisi dari Kecepatan
» Fisika Sekitar Kita Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gerak Peluru Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gerak Melingkar Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Diagram Gaya Bebas Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Aplikasi Hukum Newton Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya Gesekan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya Sentripetal Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Tekanan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya pada Fenomena di Sekitar Kita
» Definisi Kerja Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Energi Kinetik Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Teorema Kerja-Energi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Daya Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya Konservatif Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Energi Potensial Gravitasi di Sekitar Permukaan Bumi
» Bentuk Umum Energi Potensial Gravitasi
» Energi Potensial Pegas Energi Potensial
» Energi Mekanik Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Kekekalan Energi Mekanik
» Pengungkit Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Katrol Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mengapa Tetes Air Berbentuk Bola?
» MOMENTUM Berapakah jarak langkah yang optimal?
» Momentum Benda Banyak Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Kekekalan Momentum Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Ayunan Balistik Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Tumbukan Benda dengan Lantai
» Impuls Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pusat Massa Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Menentukan Pusat Massa dengan Metode Integral
» Gerak Roket Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Tumbukan Berantai Kasus khusus 1
» Laju Minimum Elektron untuk Mengeksitasi Atom kasus khusus 2
» Frekuensi Osilasi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Bandul Matematis Sederhana Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Osilasi Pegas Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Energi Osilasi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mengukur Percepatan Gravitasi Bumi
» Osilasi Dawai Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Resonansi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Osilasi Teredam Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Strut MacPherson Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Spektrometer Inframerah Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Osilator Atom dalam Zat Padat Frekuensi Kepakan Sayap Serangga
» Kepakan Sayap Burung Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya Tanpa Sentuhan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Medan Gravitasi di Permukaan Bumi
» Medan Gravitasi di Dalam Bumi
» Energi Potensial Gravitasi di Luar Benda
» Energi Potensial Gravitasi di Dalam Benda
» Energi Mekanik Benda dalam Orbit Gangguan pada Kecepatan Orbit
» Hukum Kepler untuk Gerak Planet Pembuktian Hukum Kepler dengan Hukum Gravitasi Newton
» Pembuktikan Persamaan Gravitasi dari Hukum Kepler
» Pembelokan Cahaya oleh Medan Gravitasi
» Pasang Surut Akibat Gravitasi Matahari dan Bulan
» Percepatan Gravitasi Benda yang Memiliki Kerapatan tidak Uniform
» Efek Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Batas Terkecil Massa Jenis Pulsar
» Panjang Bulan Kalender Hijriyah
» Tahun Hijriyah dan Tahun Masehi
» Hisab dan Rukyat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Lintasan Benda yang Ditembakkan Sejajar Permukaan Bumi
» Lintasan Planet Mars Diamati dari Bumi
» Perkiraan Lama Gerhana Matahari
» Ketinggian Maksimum Gunung di Bumi
» Momen Inersia Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Momen Inersia Sejumlah Partikel
» Dalil Sumbu Sejajar Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Jari-jari Girasi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Momen Gaya Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Momen Gaya Total Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum II Newton untuk Rotasi Benda Tegar
» Menggelinding dan Selip Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Roda Terbang Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Teorema Kerja-Energi Gerak Rotasi Teorema Kerja Energi Umum
» Momentum Sudut Benda Tegar Hubungan Antara Momentum Sudut dan Momen Gaya
» Hubungan antara Momentum Sudut dan Momentum Linier
» Hukum Kekekalan Momentum Sudut Gasing
» Mengapa Motor Miring di Jalan Melengkung?
» Fisika SepatuSandal High Heels
» Modulus Elastisitas Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Arah Gaya Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Bentuk Permukaan Fluida Statis
» Massa Jenis Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Modulus Bulk dan Kompressibilitas
» Tekanan Hidrostatis Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Ketinggian Permukaan Fluida Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Pascal Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Barometer Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gaya Angkat Archimedes Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Tenggelam, Melayang, dan Terapung
» Terusan Panama Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Infus Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Presto Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mengitung Luas Patung Pangeran Diponegoro
» Tegangan Permukaan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kelengkungan Permukaan Fluida Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kohesi dan Adhesi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Laju Aliran Fluida Debit Aliran
» Persamaan Kontinuitas Aliran Laminer dan Turbulen
» Hukum Bernoulli Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Beberapa Aplikasi Hukum Bernoulli
» Viskositas Persamaan Poiseuille Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Stokes Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Bilangan Reynolds Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Gesekan Udara Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Topik Khusus Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pengertian Suhu Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Skala Suhu Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Alat Ukur Suhu Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Warna Suhu Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Suhu dan Pertumbuhan Bakteri
» Satuan Energi Kalor Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Beberapa Fenomena yang Diakibatkan Kalor
» Kapasitas Kalor Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kalor Jenis Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kalor Jenis Kuantum Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kalor Lebur Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kalor Lebur Material Ukuran Nanometer
» Kalor Uap Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Perpindahan Kalor Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pemanfaatan Sifat Kalor Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pemanfaatan Sifat Perpindahan Kalor
» Pemuaian Termal Persamaan Pemuaian
» Hubungan antara Koefisien Muai Panjang, Luas, dan Volum
» Pemuaian Lingkaran Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pemuaian Lingkaran Berongga Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mengapa Zat Memuai Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Pemuaian Gas Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mengukur Pemuaian Zat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Fisika Termal di Sekitar Kita
» Gas Ideal Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Boyle Hukum Gay-Lussac
» Hukum Charles Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum Gas Umum Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Teorema Ekipartisi Energi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Laju rms Energi Dalam Gas Ideal
» Sistem dan Lingkungan Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Proses Diagram P-V Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Proses-Proses Khusus Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kerja Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum I Termodinamika Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Kapasitas Kalor Gas Persamaan Proses Adiabatik
» Siklus Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mesin Kalor Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mesin Carnot Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Mesin Pendingin Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Hukum II Termodinamika Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Entropi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Wujud Zat Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Suhu Transisi Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Sifat Zat dalam Wujud Padat, Cair, dan Gas Perubahan Wujud Zat
» Penurunan Efisiensi Mesin Carnot
» Gerak Turun Melingkar dengan Gesekan
» Bandul Simpangan Besar Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
» Shuttlecock Mikrajuddin Abdullah Fisika Dasar I 2016
Show more