Identifikasi Masalah Artikel Sendimat P4TK Matematika | Info Ops prosiding sendimat

3. Rumusan Masalah

Didasarkan pada identifikasi masalah diperoleh suatu rumusan masalah. Rumusan masalahnya adalah: Bagaimana memanfaatkan determinan untuk menentukan luas bangun datar?

4. Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan ini adalah sebagai berikut : 1. Memberikan pemahaman bagi guru dan siswa tentang keterkaitan determinan dengan luas bangun datar 2. Sebagai bahan referensi pengetahuan mengenai determinan 3. Membiasakan sikap kritis dalam mempelajari matematika 4. Membiasakan untuk selalu menemukan bukti dari suatu rumusan matematis

5. Pembahasan

5.1 Sejarah Determinan

Kalau dilihat dari sejarahnya, konsep mengenai determinan dan matriks telah ada sejak ratusan tahun sebelum masehi. Bangsa Babylonia telah memperkenalkannya sejak 300 SM. Di China sejak 200 SM telah dikenalkan metode yang lebih dekat dengan metode matriks dari bangsa Babylonia untuk menyelesaikan masalah yang sekarang dinamakan “sistem persamaan linier”, walaupun pada waktu itu belum dikenal apa itu persamaan dan variabel. Metode tersebut sekarang lebih dikenal dengan metode eliminasi Gauss. Sementara itu Girolamo Cardano menemukan aturan untuk menyelesaikan sistem dengan dua persamaan linear dan menyebutnya dengan regula de modo. Esensi dari yang disajikan oleh Cardano sebenarnya adalah aturan Cramer yang sering kita gunakan.Gagasan mengenai determinan sebenarnya mulai muncul pada tahun 1683 oleh matematikawan Jepang bernama Takakazu Seki Kowa. Dia menulis method of solving the dissimulated problem yang didalamnya memuat metode matriks seperti yang dikenalkan di China. Meskipun dia tidak menyebutkan kata “determinan” tetapi dia mengenalkan dengan sebutan “faktor penentu” disertai metode umum dalam hitungannya. Dengan menggunakan “faktor penentu“ ini, dia dapat menentukan determinan „matriks‟ 2x2, 3x3, 4x4 dan 5x5 serta menerapkannya untuk sistem persamaan tetapi bukan sistem persamaan linear. Pada tahun 1750 Gabriel Cramer matematikawan dari Swiss menyajikan rumus berbasis pada determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yang lebih dikenal d engan „Aturan-Cramer‟. Istilah „determinan‟ sendiri diperkenalkan pertama kali oleh Carl Fredrich Gauss matematikawan dari Jerman pada tahun 1800. Dia menggunakan istilah itu untuk menandai sifat bentuk kuadratik pada operasi matriks. Konsep determinan yang dia maksud berbeda dengan yang ada sekarang. Sementara itu simbol “| |” untuk menyatakan determinan diperkenalkan pertama kali oleh Arthur Cayley pada tahun 1841. Dia juga mempelajari transformasi linear, penjumlahan matriks, perkalian matriks, perkalian dengan skalar serta invers matriks. Baru pada tahun 1890 Karl Weierstrass memperkenalkan definisi aksiomatik dari determinan.Suatu hal yang menarik, ternyata definisi determinan yang diungkapkan dari berbagai matematikawan adalah sama dalam arti, sekali kita menemukan fungsi sehingga aksioma-aksioma determinan terpenuhi maka kita tidak akan menemukan fungsi lain. Atau dengan kata lain jika kita menemukan fungsi lain yang memenuhi aksioma-aksioma determinan maka fungsi itu pasti sama dengan fungsi yang tadi.

5.2 Interpretasi Geometrik Determinan

Perhatikan dua vektor ̅ dan ̅ di R 2 bidang-xy berikut ini. Perhatikan pada Gambar 2. Jelas bahwa luas daerah jajargenjang sebut saja adalah = | v | h di mana h = | u | sin β Dengan demikian = | v | | u | sin β Dari sini diperoleh = | v | 2 | u | 2 sin 2 β = | v | 2 | u | 2 1 –cos 2 β = | v | 2 | u | 2 –| v | 2 | u |cos 2 β = | v | 2 | u | 2 – v . u 2 = 2 2 2 1 v v  2 2 2 1 u u  – 2 2 2 1 1 v u v u  = 2 2 2 1 2 1 2 1 v u v u  + 2 2 2 2 2 1 2 2 v u v u  – 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 v u v u v u v u   = 2 1 2 2 1 v u v u  1 Dengan mengambil nilai yang positif diperoleh = 2 1 2 2 1 v u v u  Gambar 2. Vektor di R 2