Pengertian Bukti dan Kedudukan PWWs

a chain of statements leading, implicitly or explicitly from the axioms to a statement under consideration compelling us to declare that that statement, too, is true .” Sebuah bukti adalah rantai pernyataan yang mengarahkan, implisit maupun eksplisit dari aksioma-aksioma kepada sebuah pernyataan dalam rangka untuk memaksa kita menyatakan bahwa pernyataan tersebut juga benar. Jadi, kebanyakan definisi bukti di dalam matematika bersifat formal, menghendaki keterkaitan deduktif aksiomatif dengan logika sebagai perangkainya. Namun demikian, terdapat pula beberapa pengertian bukti di dalam matematika yang lebih bersifat samar namun tetap berprinsip pada aspek meyakinkan convincing. Dalam perkembangan matematika modern, bahkan terdapat berbagai bentuk atau cara pembuktian yang tidak bersifat formal dan aljabar, misalnya pembuktian dengan program komputer. Pembuktian semacam ini masih menjadi perdebatan di kalangan matematikawan. Bagaimana kedudukan PWWs? Apakah PWWs adalah bukti di dalam matematika? Tampaknya berbagai literatur tidak secara tegas menganggap PWWs sebagai bukti. Sebagian besar yang bersandar pada formalisme menganggap PWWs bukanlah bukti. Hal ini misalnya dinyatakan oleh Theodore Eisenberg dan Tommy Dreyfus dalam papernya “On the Reluctance to Visualize in Mathematics” dalam buku Visualizing in Teaching and Learning Mathematics terbitan MAA dengan menyatakan: “that there is one and only one way to communicate mathematics, and proofs without words are not acceptable. “ ada satu dan hanya satu cara mengkomunikasikan matematika, dan PWWs tidak dapat diterima Selain PWWs tidak memuat rangkaian pernyataan yang diturunkan dari premis dan aksioma atau teorema yang telah dibuktikan secara deduktif, PWWs juga gagal menyatakan generalisasi. Menurut pandangan kebanyakan matematikawan, gambar tidaklah menyatakan suatu generalisasi, sebuah gambar tetaplah sebuah kasus. “Essentially, a picture can only represent a special case. So even if that picture appears to be convincing, it has no systematic way of eliminating doubt about the general case. For this reason, many mathematicians do not consider PWWs to be true proofs. ” pada dasarnya, gambar hanya dapat merepresentasikan sebuah kasus kasus. Jadi walaupun gambar tersebut untuk meyakinkan, namun tidak memuat cara yang sistematis untuk menghapus keraguan akan kasus umumnya. Karena alasan ini, banyak matematikawan tidak menganggap PWWs sebagai bukti yang benar Miller, 2012. Namun dengan berbagai filsafat matematika yang berkembang, maka terdapat beberapa pandangan lain terhadap kedudukan PWWs dalam matematika. Miller setelah membahas pengertian tentang bukti proof berdasarkan filsafat formalisme dan platonisme sampai pada kesimpulan berikut ini. “Because the definition of proof varies depending on which mathematical philosophy we adhere to or which textbook we consult, it then becomes difficult to determine what meets the criteria, and what does not, or even what those criteria are. However, proof or not proof, PWWs are valuable tools in mathematics, especially in teaching. ” Karena definisi bukti bervariasi bergantung pada filsafat matematika yang kita anut atau buku yang kita pakai, maka menjadi sulit untuk menentukan kriteria yang memenuhi dan mana yang tidak bahkan menentukan kriteria itu sendiri. Bagaimanapun, baik dianggap bukti maupun tidak, PWWs merupakan alat yang bernilai dalam matematika, lebih-lebih dalam pembelajaran Miller, 2012. Lynn Arthur Steen, co-editor dari berkala Mathematics Magazine saat PWWs mulai diterbitkan menyatakan pentingnya kedudukan PWWs sebagai bukti di dalam pembelajaran matematika. For most people, visual memory is more powerful than linear memory of steps in a proof. Morever, the various relationships embedded on a good diagram represent real mathematics awaiting recognition and verbalization. So as a device to help students learn and remember mathematics, proofs without words are often more accurate than mis-remembered proofs with words. Bagi kebanyakan orang, ingatan visual lebih berdaya dibanding ingatan linear akan langah-langkah dalam sebuah pembuktian. Lebih lagi, berbagai hubungan yang merepresentasikan matematika sesungguhnya yang termuat di dalam gambar yang baik menunggu untuk ditemukan dan diverbalkan. Jadi, sebagai sarana untuk membantu siswa belajar dan mengingat konsep matematika, PWWs lebih akurat dibanding bukti dengan kata-kata yang salah diingat Miller, 2012. Kata pepatah, gambar mewakili seribu bahasa. PWWs menyediakan keterampilan pemahaman visual yang menuntut keingintahuan, kreativitas dan tantangan berpikir bagi siapa saja. “PWWs serve to stimulate mathematical thought and curiosity, which are as vital to mathematical progress. ” PWWs menstimulasi pemikiran matematis dan keingintahuan, yang merupakan hal sangat penting untuk perkembangan belajar matematika Miller, 2012.

4. Macam PWWs

Dari penelusuran literatur yang ada, PWWs dapat diklasifikasikan ke dalam dua jenis: PWWs tanpa simbol pada gambar dan PWWs dengan simbol pada gambar. Contoh PWWs tanpa simbol. 1  2  3 + … + n = 1 2 1  n n Contoh PWWs dengan simbol. Jumlah sebuah bilangan positif dan kebalikannya paling sedikit bernilai 2. 2 1   x x Di lain pihak, dapat pula diklasifikasikan ke dalam 2 jenis: PWWs tanpa tahapan gambar dan PWWs dengan tahapan gambar. Berikut dua PWWs berbeda untuk pembuktian Aturan Kosinus: c 2 = a 2  b 2 – 2ab cos  Contoh PWWs tanpa tahapan gambar. a  ca  c  b.2a cos   b c 2  a 2  b 2  2ab cos  1 1 1 1 x x a a 