Di Antara potongan A, B, dan C, manakah potongan yang terbesar?

Ketika siswa kembali dari kegiatan pengamatan, para siswa mulai berpendapat bahwa roti yang dibagikan kepada tiap kelompok tidak adil, karena beberapa anak mendapat bagian yang lebih banyak daripada siswa yang lain. Apakah tiap siswa mendapat bagian yang sama? Masalah Pertemuan Keempat 1. Masalah ini diinspirasi masalah yang ada dalam buku Young Mathematicians at Work: Constructing Fractions, Decimal, and Percents: Bu Niken memberikan soal berikut kepada para siswanya. Bulan berada di kelmpok yang terdiri dari 5 orang. Kelompoknya mendapat 3 roti. Berapa bagian roti yang diperoleh Bulan? Gambar di bawah ini adalah jawaban dari empat orang siswa Bu Niken. Apakah jawaban keempat siswa Bu Niken benar? Apakah jawaban keempat siswa Bu Niken menghasilkan pecahan senilai? Dapatkah kalian menunjukkannya? Masalah Pertemuan kelima Gambarkanlah Isilah titik-titik yang kosong 1. 2. Evaluasi Pertemuan keenam diisi dengan kegiatan evaluasi. Berikut adalah soal-soal yang diberikan kepada siswa dalam proses evaluasi: 1. Bu Vivi membuat satu loyang kue lapis. Bu Vivi akan membagi kue tersebut kepada 8 orang tetangga, yaitu Bu Dina, Bu Suci, Bu Mekar, Bu Bulan, Bu Sinar, Bu Bintang, Bu Rosna, dan Bu Rini.Bu Vivi memotong kue lapis untuk para tetangganya dengan cara berikut: Berapa bagian yang diperoleh setiap tetangga Bu Vivi? Apakah Bu Dina dan Bu Rini mendapatkan bagian yang sama? 2. Hari ini, siswa kelas 4 SD Karya akan melakukan pengamatan di beberapa objek seni dan budaya di Yogya. Para siswa dibekali roti oleh SD Karya. Pada saat pembagian roti, kelompok 1 dan 2 mendapat 10 roti, sedangkan kelompok 3 dan 4 mendapatkan 7 roti. Siswa diminta untuk membagikan roti-roti yang diperolehnya sehingga tiap siswa dalam kelompoknya mendapatkan bagian yang sama. Berikut adalah tujuan, banyak siswa, dan banyak roti tiap kelompok. Apakah bagian roti yang diperoleh siswa di kelompok 1 dan 2 sama besar dengan yang diperoleh siswa di kelompok 3 dan 4? 3. Mbah Joyo memiliki dua anak, yaitu Pak Jono, dan Pak Jino. Ketika Mbah Joyo meninggal dunia, ia mewariskan sebidang tanah berbentuk persegi panjang seluas 10.000 meter persegi. Mbah Joyo menuliskan pembagian tanah yang diwariskannya sebagai berikut: Pak Jono dan Pak Jino masing-masing mendapatkan bagian. a. Gambarkan bagian tanah untuk Pak Jono dan Pak Jino b. Berapa luas tanah yang diperoleh Pak Jono? c. Berapa luas tanah yang diperoleh Pak Jino? Pak Jono memiliki 4 orang anak, yaitu Bulan, Bintang, Sinar, dan Surya. Bagian tanah Pak Jono dibagikan secara rata kepada Bulan, Bintang, Sinar, dan Surya. a. Gambarkan bagian tanah yang diperoleh Bulan, Bintang, Sinar, dan Surya b. Berapa bagian tanah yang diperoleh Bulan, Bintang, Sinar, dan Surya? c. Berapa luas tanah yang diperoleh Bulan, Bintang, Sinar, dan Surya? Pak Jino memiliki 2 orang anak, yaitu, Wawan, dan Niki. Bagian tanah Pak Jino dibagikan secara rata kepada Wawan, dan Niki. a. Gambarkan bagian tanah yang diperoleh Wawan, dan Niki b. Berapa bagian tanah yang diperoleh Wawan, dan Niki? c. Apakah Bulan dan Wawan mendapatkan bagian tanah yang sama? d. Berapa luas tanah yang diperoleh Wawan , dan Niki? Hasil belajar siswa dipergunakan untuk melihat dampak yang ditimbulkan oleh desain pembelajaran ini terhadap pembentukan makna dari perkalian dua pecahan danprosedur mencari hasil perkalian dua pecahan dalam diri para siswa. Karena hal yang terpenting untuk disajikan dalam penyajian hasil penelitian pengembangan, bukan hanya produk yang dikembangkan tetapi dampak dari produk yang dibuat terhadap proses berpikir siswa. Karena tujuan dari penelitian pengembangan, seperti yang diutarakan Koeno dalam Akker, Gravemeijer, McKeney, dan Nieveen, 2006 adalah untuk mengembangkan teori pembelajaran lokal. Tabel 1. Hasil capaian dari belajar siswa untuk pertemuan pertama sampai dengan pertemuan kelima dan evaluasi Pertemuan Capaian siswa Catatan Pertama Dari masalah 1, para siswa dapat menyimpulkan bahwa . Dari masalah 2, para siswa dapat menyimpulkan bahwa 1 bagian tiap siswa dikelompok 1 adalah bagian, sedangkan di kelompok 2 adalah bagian, dan 2 bagian yang diperoleh kelompok 2 lebih banyak daripada kelompok 1. Karena panjang roti yang diperoleh tiap siswa di kelompok 1 adalah 12 : 2 = 6 cm, sedangkan panjang roti yang diperoleh tiap siswa di kelompok 2 adalah 2 x 12 : 3 = 8 cm atau 2 x 12 : 3 = 8 cm. Dari masalah 3 soal 1, para siswa dapat menyimpulkan bahwa siswa di kelompok 1 mendapatkan bagian lebih banyak daripada siswa di kelompok 2, karena banyak roti yang diperoleh kelompok 1 dan 2 sama, tetapi banyak anggota kelompok 1 lebih sedikit daripada kelompok 2. Dari masalah 3 soal 2, para siswa dapat menyimpulkan bahwa 1 bagian yang diperoleh siswa kelompok 1 dan 2 sama, karena tiap 1 roti dibagi untuk 2 orang, dan 2 . Dari masalah 3 soal 3, para siswa dapat menyimpulkan bahwa bagian siswa di kelompok 2 lebih besar daripada kelompok 1. Karena setelah tiap siswa di kelompok 1 dan 2 diberikan setengah bagian, kelompok 2 masih memiliki sisa satu roti, sedangkan kelompok 1 hanya memiliki sisa setengah bagian.  Banyak siswa yang ikut ada 9 orang.  Guru mengadakan peragaan dengan menggunakan model roti yang berukuran 12 cm x 6 cm untuk menjelaskan masalah 1 dan 2.  Masalah 1 dan 2 dikerjakan secara klasikal.  Masalah 3 dikerjakan dalam kelompok. Ada 4 kelompok yang dibentuk oleh guru. Dari masalah 3 soal 4, para siswa dapat menyimpulkan bahwa siswa di kelompok 2 mendapatkan bagian yang lebih besar. Karena setelah mendapatkan bagian yang sama dengan yang diperoleh siswa di kelompok 1, yaitu satu perempat, siswa di kelompok 2 masih memiliki sisa bagian. Dari penyelesaian yang dibangun siswa untuk soal 3 dan 4 dalam masalah 3, guru dapat mengarahkan siswa pada 1 pemahaman makna dari perkalian dua pecahan, 2 menentukan hasil kali dari dua pecahan, dan 3 pembagian pecahan dengan bilangan bulat. Dari masalah 3 soal 3, muncul model bagian dari dari pembagian setengah bagian roti untuk 3 orang, dan siswa dapat menemukan bahwa . Dari masalah 3 soal 4, muncul model bagian dari dari pembagian tiga per empat bagian roti untuk 5 orang, dan siswa dapat menemukan bahwa . Kedua Dari masalah 1, siswa dapat menemukan bahwa tiap teman Pak Hongki mendapatkan bagian, karena satu roti dibagi dua, kemudian tiap potongan dibagi dua lagi, atau besar tiap potongan adalah bagian dari . Dari masalah 2, siswa dapat menemukan bahwa 1 potongan A yang terbesar karena besar potongan roti A adalah , sedangkan besar potongan roti B dan C hanya atau , dan 2 potongan A yang terbesar karena luas potongan A adalah 3 x 6 = 18 cm 2 , sedangkan luas potongan B adalah 2 x 6 = 12 cm 2 , dan luas potongan C adalah 1 x 12 = 12 cm 2 . Dari penyelesaian siswa untuk masalah 2, dapat dilihat bahwa siswa dapat membuat hubungan antara konsep pecahan dengan konsep luas persegi panjang. Hubungan ini dapat dibangun oleh siswa, karena guru menyiapkan alat peraga roti yang terbuat dari kertas lipat berwarna.  Banyak siswa yang mengikuti pertemuan kedua ada 10 orang.  Masalah 1dikerjakan, dan dibahas oleh siswa secara klasikal. Ketiga Dari masalah yang diberikan pada pertemuan 3, siswa dapat menemukan bahwa 1. Bagian kelompok 1 adalah atau atau atau 9 cm. 2. Bagian kelompok 2 adalah atau atau atau 12 x 4 : 5 = 9,6 cm. 3. Bagian kelompok 3 adalah atau atau atau 12 x 7 : 8 = 10,5 cm. 4. Bagian kelompok 4 adalah atau atau 12 x 3 : 5 = 7,2 cm atau . 5. Siswa yang mendapatkan bagian yang paling besar adalah siswa di kelompok 3.  Untuk mengerjakan masalah 1, siswa dibagi dalam kelompok. Ada 5 kelompok yang terbentuk.  Cara 2 dalam tiap pembagian roti dikembangkan oleh kelompok yang sama. Kelompok ini, selalu menggunakan model perempatan untuk membagi roti. Setelah itu, akan diperoleh sisa roti yang kemudian dibagi secara merata kepada setiap anggota kelompok. Adanya strategi ini, memicu siswa untuk menggunakan konsep perkalian pecahan, khususnya dalam menentukan berapa bagian yang diperoleh tiap anggota kelompok dari sisa roti yang ada. Sebagai contoh pada pembagian sisa roti untuk kelompok 2, siswa menemukan bahwa dari sisa roti, tiap anggota kelompok akan mendapatkan bagian sebesar diperoleh bagian dari . Keempat Dari masalah yang diberikan dalam pertemuan 4, dapat disimpulkan bahwa 1. Siswa dapat menjelaskan ide Titin, Susi, dan Andi dalam mencari bagian yang diperoleh Bulan dan menjelaskan bahwa penyelesaian Titin, Susi, dan Andi benar. 2. Siswa sudah dapat menjelaskan ide Rudi dalam mencari bagian yang diperoleh Bulan, tetapi siswa belum dapat menemukan bahwa bagian yang kecil bukan , tetapi bagian dari , sehingga siswa belum dapat menemukan bahwa penyelesaian Rudi belum benar.  Pertemuan ini diikuti oleh 7 siswa yang dibagi dalam 3 kelompok diskusi. Kelima Dari masalah 1 soal 1, siswa dapat menemukan bahwa bagian yang diarsir adalah bagian dari , tetapi ada siswa yang masih kebingungan membedakan cara menjumlahkan dan mengalikan dua pecahan. Dari masalah 1 soal 2, siswa dapat menemukan bahwa bagian yang diarsir adalah bagian dari , tetapi siswa belum menemukan bahwa bagian dari . Dari masalah 1 soal 3, siswa dapat menemukan bahwa bagian yang diarsir adalah bagian dari , tetapi siswa belum menemukan bahwa bagian dari . Dari masalah 1 soal 4, siswa belum dapat menemukan berapa bagian yang diarsir. Dari masalah 2 soal 1, siswa dapat menggambarkan bagian yang menyatakan bagian dari . Dari masalah 2 soal 2, siswa belum dapat menggambarkan bagian yang menyatakan bagian dari .  Pertemuan ini diikuti oleh 10 siswa.  Masalah dalam pertemuan ini diselesaikan oleh siswa secara individual.

6. Kesimpulan

Ada beberapa konteks yang dapat dipergunakan untuk mengenalkan makna dari perkalian dua pecahan dan mencari hasil perkalian dua pecahan, yaitu 1 membandingkan hasil pembagian roti untuk sejumlah siswa dalam dua atau lebih kelompok, 2 menganalisa jawaban siswa terhadap suatu permasalahan, 3 menentukan berapa bagian suatu arsiran dengan menggunakan representasi perkalian, dan 4 menggambarkan representasi perkalian dua pecahan. Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan sebagai dampak terhadap proses pembentukan makna perkalian dua pecahan dan menentukan bagaimana proses mengalikan dua pecahan dari proses pembelajaran yang dirancang oleh peneliti ditinjau dari hasil eksplorasi dan penyelesaian siswa: a. Adanya alat peraga roti dari kertas lipat warna dapat membuat siswa menghubungkan masalah pembagian roti dengan konsep membagi panjang suatu benda, dan membagi suatu luasan persegi panjang. b. Adanya soal 3 dan 4 masalah 3 hari pertama dapat dimanfaatkan oleh guru untuk memunculkan konsep pembagian pecahan dengan bilangan bulat dan cara mencari hasil pembagiannya, yaitu , dan . c. Adanya masalah 1 hari kedua membuat siswa dapat memunculkan makna perkalian dua pecahan dan cara menentukan hasil perkalian dua pecahan, yaitu bagian dari sebagai makna dari , dan menemukan bahwa . Temuan siswa ini, diperkuat dengan adanya masalah 2 hari 2. Dari masalah tersebut, siswa dapat menemukan makna dari dari sebagai , dan menemukan hasil perkalian . d. Siswa masih mengalami kesulitan untuk menyatakan besarnya suatu potongan ke dalam bentuk perkalian dua pecahan, dan menggambarkan besarnya suatu potongan untuk merepresentasikan perkalian dua pecahan. Dengan kata lain, siswa masih kesulitan untuk memahami representasi dari makna perkalian dua pecahan, dan merepresentasikan makna dari perkalian dua pecahan. Untuk itu, siswa masih perlu diberi kesempatan lagi untuk mengeksplorasi beberapa masalah yang dapat membuat siswa memahami representasi dari makna perkalian dua pecahan, dan merepresentasikan makna dari perkalian dua pecahan. Daftar Pustaka Akker, J. v. D., Gravemeijer, K., McKenney, S., Nieveen, N. 2006. Introduction educational design research. In J. v. D. Akker, K. Gravemeijer, S. McKenney, N. Nieveen Eds., Educational Design Research. New York: Routledge Taylor and Francis Group. Ayunika, El. P. S., Juniati, D., Maesuri, S. P. 2012. Early fractions learning of 3 rd grade students in SD Laboratorium Unesa. Journal Mathematics Education, 3, 17-28. Fosnot, C. T. and Dolk, M. 2002. Young mathematicians at work: Constructing fractions, decimal, and percents. Portsmouth: Heinemann. Gravemeijer, K. P. E. 1994. Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht: Freudenthal Institute. Gravemeijer, K. P. E. 1991. An instruction-theoretical reflection on the use of manipulatives. In L. Steefland Ed., Realistic mathematics education in primary school pp. 57-76. Utrecht: CD- β Press. Julie, H., Suwarsono, St., Juniati, D. 2013. Bahan belajar siswa untuk siklus kedua pengembangan pembelajaran pecahan di kelas V Sekolah Dasar dengan pendekatan matematika realistik. Dalam Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.