Pengertian dan Sejarah PWWs

penggunaan gambar atau diagram dalam rangka pembuktian mulai mendapat perhatian serius, saat muncul istilah PWWs atau Proof Without Words dalam terbitan Mathematics Magazine sekitar tahun 1975 lewat karya Rufus Isaacs, “Two Mathematical Papers Without Words”. Penerbitan berikutnya yang memuat PWWs dalam the College Mathematics Journal sekitar 10 tahun kemudian. Roger Nelsen tahun 1987 menerbitkan sebuah paper terkait PWWs dengan judul “The Harmonic Mean-Geometric MeanArithmetic Mean-Root Mean Square Inequality”. Hingga ia menulis dan mereview berbagai PWWs hingga menjadi dua buku yang diterbitkan oleh the Mathematical Association of America MAA dengan judul Proofs Without Words: Exercise in Visual Thinking dan Proofs Without Words II: Exercise in Visual Thinking Alsina Nelsen: 2010, Miller: 2012.

3. Pengertian Bukti dan Kedudukan PWWs

Kebanyakan definisi “bukti” terkait dengan deduksi logis dari aksioma atau teorema untuk mendapatkan kesimpulan atau konklusi. Berikut beberapa definisi bukti di dalam matematika : “A proof is a sequence of statements. These statements come in two forms: givens and deductions. ” David Guichard dan Patrick Keef, dalam Miller, 2012, “To prove a statement is to proceed logically from premises to conclusions. ” Johan F. Lucas, dalam Miller, 2012, “A proof of a theorem is a logical organization of the evidence that the theorem is true. …. . A proof outline is a sequence of statements.” Margie Hale, 2003 Oleh karena matematika saat ini dan umumnya dipandang sebagai sistem formal, maka kebanyakan definisi bukti di dalam matematika termasuk ke dalam bukti formal, yang bersifat deduktif dan memuat penalaran logis secara aksiomatis. “A formal proof is a proof in which every logical inference has been checked all the way back to the fundamental axioms of mathematics. ” Bukti formal adalah sebuah bukti di mana setiap penarikan kesimpulan yang logis diperiksa kebenarannya dengan berdasar pada aksioma-aksioma dasar dalam matematika Hales, 2008. Namun ada pula yang mendefinisikan bukti di dalam matematika secara lebih samar, misalnya oleh Eric Gosset berikut. “A proof is the demonstration of validity of some precise mathematical statement. The demonstration should contain sufficient detail to convince the intended audience of its validity .” sebuah bukti adalah demonstrasi keabsahan beberapa pernyataan matematika yang tepat. Demonstrasi tersebut harus memuat detil yang cukup untuk meyakinkan pembaca atas keabsahannya Eric Gosset, dalam Discrete Mathematics With Proof, 2009, John Wiley and Sons. Tampak bahwa dalam definisi yang terakhir sebuah bukti diterima bila “meyakinkan”, tidak ada indikasi bahwa aksioma, dalil bahkan logika diperlukan dalam pembuktian. Definisi yang lebih moderat diberikan oleh Larry J. Gerstein dalam Introduction to Mathematical Structures and Proofs 1996, Springer Publishing sebagai berikut. “A proof is a chain of statements leading, implicitly or explicitly from the axioms to a statement under consideration compelling us to declare that that statement, too, is true .” Sebuah bukti adalah rantai pernyataan yang mengarahkan, implisit maupun eksplisit dari aksioma-aksioma kepada sebuah pernyataan dalam rangka untuk memaksa kita menyatakan bahwa pernyataan tersebut juga benar. Jadi, kebanyakan definisi bukti di dalam matematika bersifat formal, menghendaki keterkaitan deduktif aksiomatif dengan logika sebagai perangkainya. Namun demikian, terdapat pula beberapa pengertian bukti di dalam matematika yang lebih bersifat samar namun tetap berprinsip pada aspek meyakinkan convincing. Dalam perkembangan matematika modern, bahkan terdapat berbagai bentuk atau cara pembuktian yang tidak bersifat formal dan aljabar, misalnya pembuktian dengan program komputer. Pembuktian semacam ini masih menjadi perdebatan di kalangan matematikawan. Bagaimana kedudukan PWWs? Apakah PWWs adalah bukti di dalam matematika? Tampaknya berbagai literatur tidak secara tegas menganggap PWWs sebagai bukti. Sebagian besar yang bersandar pada formalisme menganggap PWWs bukanlah bukti. Hal ini misalnya dinyatakan oleh Theodore Eisenberg dan Tommy Dreyfus dalam papernya “On the Reluctance to Visualize in Mathematics” dalam buku Visualizing in Teaching and Learning Mathematics terbitan MAA dengan menyatakan: “that there is one and only one way to communicate mathematics, and proofs without words are not acceptable. “ ada satu dan hanya satu cara mengkomunikasikan matematika, dan PWWs tidak dapat diterima Selain PWWs tidak memuat rangkaian pernyataan yang diturunkan dari premis dan aksioma atau teorema yang telah dibuktikan secara deduktif, PWWs juga gagal menyatakan generalisasi. Menurut pandangan kebanyakan matematikawan, gambar tidaklah menyatakan suatu generalisasi, sebuah gambar tetaplah sebuah kasus. “Essentially, a picture can only represent a special case. So even if that picture appears to be convincing, it has no systematic way of eliminating doubt about the general case. For this reason, many mathematicians do not consider PWWs to be true proofs. ” pada dasarnya, gambar hanya dapat merepresentasikan sebuah kasus kasus. Jadi walaupun gambar tersebut untuk meyakinkan, namun tidak memuat cara yang sistematis untuk menghapus keraguan akan kasus umumnya. Karena alasan ini, banyak matematikawan tidak menganggap PWWs sebagai bukti yang benar Miller, 2012. Namun dengan berbagai filsafat matematika yang berkembang, maka terdapat beberapa pandangan lain terhadap kedudukan PWWs dalam matematika. Miller setelah membahas pengertian tentang bukti proof berdasarkan filsafat formalisme dan platonisme sampai pada kesimpulan berikut ini. “Because the definition of proof varies depending on which mathematical philosophy we adhere to or which textbook we consult, it then becomes difficult to determine what meets the criteria, and what does not, or even what those criteria are. However, proof or not proof, PWWs are valuable tools in mathematics, especially in teaching. ” Karena definisi bukti bervariasi bergantung pada filsafat matematika yang kita anut atau buku yang kita pakai, maka menjadi sulit untuk